martedì 24 ottobre 2017

Hailstone....dagli abissi marini ai numeri

Hailstone in inglese significa grandine e questa parola mi ha condotto a due eventi, uno legato agli abissi e uno alla matematica.
Stavo cercando immagini da correlare alla curiosità matematica della congettura di Collatz o "hailstone sequence", quando mi sono imbattuta in immagini stupende dei fondali marini, legati all' "operation hailstone". 
Si tratta della Laguna di Truck (Truck Lagoon) e della sua flotta di relitti sommersi, conosciuta da tutti i subacquei come un posto paradisiaco. 


Laguna di Truck - Relitto in superficie 

La laguna si trova a circa 1000 km a sud est di Guam (U.S.A.), punto principale di approdo per le rotte intercontinentali.
Data la magnifica posizione strategica, durante la seconda guerra mondiale Truck diventò presto il baluardo dei Giapponesi nel Pacifico che, sentendosi al sicuro, concentrarono qui le loro maggiori flotte.
Tuttavia nelle notti tra il 16 e il 18 febbraio 1944, gli Stati Uniti sferzarono un attacco a sorpresa denominato appunto “Operazione Hailstone”, che distrusse e affondò oltre 45 mezzi tra navi militari, aerei, portaerei, un sommergibile, navi cisterna......insomma una Pearl Harbor al contrario avvenuta dopo quasi tre anni da quell'attacco giapponese del 7 dicembre 1941.
Nacque così la famosa “flotta fantasma di Truck” con relitti di navi che si trovano tra una profondità di +1 mt (di alcuni relitti fuoriesce il pennone dall’acqua) e i -200 mt. 
Dopo 25 anni di bonifica e migliaia di immersioni per sminare completamente e rendere innocuo il pericoloso carico di queste navi da guerra, la laguna è divenuta parco, dove i relitti si sono ora completamente trasformati da tetri ricordi di una sanguinosa battaglia a una ricchissima colonia di coloratissimi pesci e coralli di ogni specie.
Un’esplosione di colori e coralli è assicurata visitando la Fujikawa Maru, una portaerei di 132 mt e 6938 tonnellate di stazza, mentre suggestiva è la visione della Sankisan Maru, una nave da carico di 112 mt di lunghezza e 4776 tonnellate di stazza, che giace su un fondale di circa 33 mt parzialmente in assetto di navigazione.
Troppo belle queste immagini per non condividerle in apertura di questo mio articolo, che dedicherò a una sorprendente sequenza matematica, anche lei correlata da altre altrettanto fascinose immagini.


Laguna di Truck - La Fujikawa Maru 

Laguna di Truck - La Aikoku Maru

Laguna di Truck - Mitsubishi G4M Betty Bomber

Laguna di Truck - Un carro armato giapponese

Laguna di Truck - Bombardiere Mitsubishi Zero

Dopo queste sbalorditive immagini degli abissi legate alla "operation hailstone" , dedico questo articolo alla sequenza o congettura di Collatz nota appunto come "hailstone sequence" e a cui nessuno ha ancora dato una risposta e che può essere considerata un vero rompicapo della teoria dei numeri.
Nota anche come congettura di Ulam (da Stanisław Ulam) o di Thwaites (da Sir Bryan Thwaites), capita di incontrarla come algoritmo di Hasse (da Helmut Hasse) oppure come problema di Kakutani (da Shizuo Kakutani) o di Syracuse (il nome fu proposto da Hasse nel 1950, durante una visita alla Syracuse University), fu riproposta da Paul Erdős e prese anche il nome di "hailstone sequence" o "sequenza della grandine".
Tanti nomi diversi stanno a dimostrare il grande interesse per la questione, nata negli anni ’30 del secolo scorso ma diffusasi in campo matematico solo a partire dagli anni ’60.
Conosciuta anche come congettura 3n+1, è una congettura matematica che fu enunciata per la prima volta nel 1937 da Lothar Collatz, da cui prende il nome e riproposta, con un premio in denaro, da Paul Erdős.
Sebbene il matematico tedesco Lothar Collatz (6 luglio 1910 Arnsberg, Vestfalia, Germania - 26 settembre 1990 Varna, Bulgaria) abbia ricevuto molti onori per i suoi contributi, è ricordato forse solo per questa sua sequenza.  
Al contrario il matematico ungherese Paul Erdős (26 marzo 1913 Budapest, Ungheria - 20 settembre 1996 Varsavia Polonia), che la ripropose, è ricordato come uno dei matematici più prolifici ed eccentrici della storia. 


Lothar Collatz (a sinistra) e Paul Erdős

Erdős ha lavorato e risolto problemi legati alla teoria dei grafi, combinatoria, teoria dei numeri, analisi, teoria dell'approssimazione, teoria degli insiemi e probabilità......
Era una persona ossessionata dalla matematica, non desiderava soldi o fama e la maggior parte del denaro che riceveva per le conferenze lo donava per cause benefiche, tenendo per sé solo quanto era sufficiente a soddisfare il suo frugale stile di vita. 
Dava soldi a tutti i mendicanti e si potrebbe dire che semplicemente non si curava affatto di ciò che non era matematica. 
"Alcuni socialisti francesi hanno detto che la proprietà è un furto - diceva - Io penso che più che altro sia una seccatura." 
Non aveva una casa e tutte le sue proprietà materiali erano stipate in due logore valigie che lo accompagnavano ovunque andasse.
"Another roof, another proof" era il suo motto" ("Un nuovo tetto, una nuova dimostrazione").
Ideò anche un vocabolario personale; spesso parlava del "Libro" riferendosi a un ipotetico libro, posseduto da Dio, nel quale erano racchiuse tutte le dimostrazioni sviluppate nella forma più elegante,  "capo" indicava una donna, "schiavo" un uomo, "epsilon" un bambino (noto che epsilon, in matematica, indica una quantità piccola), "veleno" gli alcolici, "rumore" la musica, "predicare" il tenere una conferenza di matematica, e così via. Erdős utilizzava questo suo proprio gergo anche per indicare gli Stati; Samlandia erano gli Stati Uniti d'America (dalla figura dello Zio Sam), mentre Joseplandia era l'URSS (da Josif Stalin). 
Per il suo epitaffio suggerì: "Végre nem butulok tovább" ("Adesso ho finito di diventare più stupido").
Tra le curiosità va ricordata la sua originale quanto inquietante idea di Dio, che negli anni '40 cominciò a chiamare SF, vale a dire "Sommo Fascista", immaginandolo infatti come una sorta di despota cosmico. 
Con tante brutte cose nel mondo - spiegava - non sono sicuro che Dio, ammesso che esista, sia buono”.
Insomma un genio davvero originale ed eccentrico, uno dei più prolifici matematici della storia (durante la sua vita ha scritto 1.485 articoli di matematica) e che, con i suoi studi, contribuì allo sviluppo della teoria di Ramsey e all'applicazione dei metodi probabilistici alla teoria stessa, da cui è nata una nuova branca dell'analisi combinatoria derivata in parte dalla teoria analitica dei numeri.
Durante la sua carriera, Erdős ha offerto premi in denaro per la soluzione di alcuni problemi irrisolti (Congetture di Erdőse tra questi appunto la congettura di Collatz, per la quale Erdős offrì 500 dollari.


Congettura di Collatz

La congettura di Collatz è semplice da enunciare 
e consiste nel definire una funzione f sugli interi positivi (numeri naturali):

f: N→N

f(n) = 3n + 1    se n è dispari 
f(n) = n/2    se n è pari

Un intero n definisce una sequenza:

a(1) = n e,  per i ≥ 1, a(i+1) = f(a(i))

Il problema consiste nel dimostrare che :
per ogni valore iniziale n, la sequenza a(i) raggiunge sempre 1.

Il problema rimane irrisolto, anche se la congettura è stata verificata per tutti i numeri n fino a n = 87x2^60 (nel 2017)
Più formalmente, le congetture in realtà sono due:


congettura debole di Collatz: nessun intero è divergente
congettura forte di Collatz: tutti gli interi positivi sono convergenti

Nelle successive sequenze vedremo che si passa da 1 per entrare in un ciclo (1, 4, 2, 1...) ma potrebbero esistere altri cicli che non contengono l’1. 
In questo caso, risulterebbe vera la congettura debole ma non la forte, per ora appunto indimostrata. 
Esiste solo una dimostrazione debole (molto importante peraltro) dovuta a Terras (vedi nota¹), che afferma (introducendo il concetto di stopping time) che la maggioranza degli interi positivi ha il comportamento che si conclude con il ciclo (1, 4, 2, 1.....).
Se proviamo infatti a costruire più sequenze a partire da un numero intero positivo, dividendolo per 2 se è pari, oppure moltiplicandolo per 3 e sommando 1 se è dispari, osserviamo che dopo un po’ di su e giù, la sequenza precipita incontrando numeri pari divisibili più volte per 2 e alla fine atterra su 1. 

Proviamo alcuni numeri per vedere cosa succede: 

n = 3; 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ... 
n = 4; 2, 1, 4, 2, 1, ... 
n = 5; 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ... 
n = 6; 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ... 
n = 7; 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 ...
n = 11; 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 ...
n = 156; 156, 78, 39, 118, 59, 178, 89, 268, 134, 67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1... (vedi grafico 1.1)
Come si vede la sequenza si ripete in un ciclo infinito:  4, 2, 1, 4, 2, 1 ...


Grafico 1.1

Analizzando queste sequenze scopriamo anche perché sia stata chiamata "hailstone sequence".
Il comportamento delle sequenze infatti ricorda la formazione della grandine causata da nuclei di ghiaccio portati su dalle correnti ascensionali e giù dal proprio peso, che si aggregano tra loro fino a diventare troppo pesanti e precipitare al suolo. 
Da qui il nome di sequenza della grandine, in inglese "hailstone sequence".


Schema di formazione della grandine

Come si è detto, fino ad oggi la questione è ancora aperta ed in attesa di essere dimostrata vera o confutata.
Spinti dall’apparente semplicità della domanda, nel tempo molti matematici hanno provato a fornire una risposta rigorosa, ma il problema si è rivelato molto più ostico del previsto. 
E una risposta alla domanda "Quanto ostico?" ce la fornisce proprio la valutazione del matematico ungherese Paul Erdős, che era solito offrire a colleghi e studenti una ricompensa economica per la soluzione dei problemi che proponeva.
Il premio partiva da pochi dollari per problemi che pur impegnavano duramente anche i più esperti e arrivò a 50$ per un problema ancora oggi irrisolto (frazioni egizie della congettura di Erdős-Strauss, ma a chi avesse fornito un risposta alla congettura di Collatz , Erdős offrì ben 500 $. 
Il suo intuito gli suggerì che forse servisse una matematica ancora da scoprire per risolvere la congettura.
Jeffrey Lagarias nel 2010 ha affermato a sua volta che "si tratta di un problema estremamente difficile, completamente fuori dalla portata della matematica attuale".
Quando negli anni ’60 il problema ritornò a interessare e cominciò a girare tra le università statunitensi, i calcolatori non erano ancora diffusi come oggi e il modo più comune per affrontare un problema come questo era ancora carta e penna.
L’apparente semplicità indusse molti a provarci, spendendo ore di calcoli senza però arrivare a una dimostrazione rigorosa.
Tanto che, ironicamente, qualcuno ipotizzò che la congettura facesse parte di una cospirazione sovietica, intesa a paralizzare la ricerca matematica statunitense.


Disposizione ad albero con radice in 1 

Cerchiamo ora di individuare quali siano i punti da prendere in considerazione per riuscire a dimostrare o confutare la congettura di Collatz.
Dato che la congettura di Collatz suppone che per ogni valore iniziale n, la sequenza a(i) debba raggiungere sempre 1, a(i) potrebbe: 
1) verificare tale ipotesi e precipitare a 1, dopo aver altalenato su e giù, terminando con il ciclo da 4 → 2 → 1 → 4 (…)
2) confutare tale ipotesi e terminare su un ciclo diverso da 4 → 2 → 1 → 4 (…) 
3) confutare tale ipotesi e divergere, toccando numeri sempre maggiori e non terminando mai né a 1, né in un ciclo
Quindi la congettura può essere dimostrata vera o falsa, in base ad un rigoroso ragionamento logico-matematico (caso 1), oppure confutata trovando un controesempio (casi 2 o 3).
Si potrebbe confutare tale congettura solo trovando un numero di partenza che generi una sequenza che non contenga 1, che quindi converga a un ciclo di ripetizione che escluda 1 o che diverga.
Queste strade sono state attivamente esplorate da più di 50 anni, ma nessuna sequenza di questo tipo è stata trovata. 
Non è stata trovata né una dimostrazione, né un controesempio. 
Anche se la congettura non è stata dimostrata, la maggior parte dei matematici che hanno esaminato il problema pensano che la congettura sia vera perché le prove sperimentali e gli argomenti euristici lo sostengono.
Con l'ausilio del computer, è stato verificato ad oggi (2017) che tutti gli interi positivi fino a 87x2^60 (vedi nota²) terminano infatti, prima o poi, a 1.
Con l'aumento della velocità dei computer, verranno controllati valori sempre più alti, anche se è bene ricordare che questi test non potranno mai dimostrare la correttezza della congettura, ma solo l'eventuale falsità.

Ma quali strade sono state battute dai matematici, alla ricerca di regolarità, che diano la chiave di risoluzione? 
Il primo passo è farsi un’idea di come varia la lunghezza della sequenza (numero dei passi), in base al numero di partenza.
Tenendo conto del numero da cui si parte, in alcuni casi il percorso è breve, mentre per altri è particolarmente lungo.
Ad esempio, partendo da n = 27 si arriva a 1 dopo un percorso di ben 111 passi, di cui 41 passi per i numeri dispari. 
Nel suo viaggio la sequenza sale fino a 1.780, ridiscende a 167, si impenna fino a 9.232, per poi scendere più o meno a capofitto verso 1 (vedi grafico 1.2).

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (...)


Grafico 1.2

Analizzando il numero dei passi è quindi evidente che anche un numero relativamente piccolo (come es n = 27) può avere tanti passi prima di arrivare a 1, come si vede dal grafico 1.2 ottenuto appunto utilizzando la funzione matematica della sequenza di Collatz.
Interessante anche notare la somiglianza notevole tra due grafici che si riferiscono alle sequenze che iniziano rispettivamente con n = 63.728.127 e n = 670.617.279 (vedi grafico 1.3 e 1.4)  
E' stato verificato che n = 63.728.127 è il numero minore di 100 milioni con il tempo di arresto totale più lungo, con 949 passi, e n = 670.617.279 è il numero minore di 1 miliardo con il tempo di arresto totale più lungo, con 986 passi (vedi grafici 1.3 e 1.4). 


Grafico 1.3

Grafico 1.4

Tenendo conto dei numeri di passi (per i numeri pari e dispari) si ottengono i grafici della congettura di Collatz e, se effettivamente tutte le sequenze portano a 1, allora gli interi positivi dovrebbero disporsi secondo un albero, con radice in 1. 
Le diramazioni dovrebbero passare, prima o poi, per tutti i numeri interi positivi. 
Anche se questo tipo di costruzione mostra delle regolarità, non ha fornito ad oggi lo spunto desiderato.
Per approfondire i più significativi tentativi di dimostrazione che si sono susseguiti lascio il link alla "Collatz conjecture"

Qui di seguito alcuni grafici della sequenza di Collatz che prendono in considerazione il numero di passi:


Grafico 1.5

Grafico 1.5 - lunghezza per i numeri dispari minori di 10.000 rispetto ai passi pari e dispari
Analizzando la lunghezza delle sequenze di Collatz per i numeri dispari minori di 10.000, si osservano frequenti gruppetti di numeri vicini che hanno la stessa lunghezza. Poiché due numeri dispari consecutivi non hanno fattori primi in comune, si tenderebbe a escludere un legame tra lunghezza della sequenza e fattori primi.


Grafico 1.6

Grafico 1.6 - lunghezza per i numeri pari minori di 10.000 rispetto ai  passi pari
Analizzando la lunghezza delle sequenze di Collatz per i numeri pari minori di 10.000, che come visto è la lunghezza della sequenza che aggrega il passo 3n + 1 con il successivo dimezzamento, si nota che l’andamento è simile a quello del grafico 1.5.


Grafico 1.7

Grafico 1.7 - distribuzione delle lunghezze
Analizzando la distribuzione delle lunghezze per i numeri dispari  minori di 10.000, si nota che la gobba che si forma intorno alla lunghezza di 120 è (purtroppo) fuorviante, e si livella analizzando più numeri.


Grafico 1.8

Grafico 1.8 - rapporto tra numero di passi pari e numero di passi dispari
Il grafico mostra l’andamento del rapporto p/d.
Si nota come il numero di passi pari e quello dei passi dispari siano correlati: se la sequenza arriva ad 1, i primi devono compensare in diminuzione l’effetto dei secondi in aumento. 

Grafico 1.9

Grafico 1.9 -  distribuzione del numero di passi pari e del numero di passi dispari
Evidenzia la distribuzione di passi pari e dispari

Grafico 1.10


Grafico 1.10 - stessa lunghezza per 943, 945, 947 e 949
Mette in evidenza un gruppo di numeri dispari consecutivi con la stessa lunghezza di sequenza: 943, 945, 947, 949. Si noti l’ampiezza del viaggio di 943 e come invece 949 proceda piatto.



Ottimizzando la f(n) = 3n + 1 con la relazione "shortcut" f(n) = (3n + 1)/2 e riformulando la congettura di Collatz in campo complesso, vale a dire passando dalla funzione "shortcut" di Collatz a una funzione olomorfa sull'intero piano di Gauss, si ottiene: 

 f(z)=1/4(4z+1−(2z+1)cos(πz)) 

e si ricava il suggestivo frattale di Collatz.

Frattale di Collatz

La procedura di Collatz può essere vista come l’iterazione della funzione, limitata ad argomenti interi. 
Iterando la funzione, si trova che diverge per alcuni valori iniziali di z e converge per altri; colorando i punti del piano complesso in nero, se l’iterazione diverge utilizzando quel punto come valore iniziale e con colori differenti se converge, si ottiene il disegno, riportato nella figura (da Pokipsy76 – English wikipedia, Public Domain),  che ricorda in vari particolari quello dell’insieme di Mandelbrot

Concludendo l'"hailstone sequence" dimostra che parte della bellezza della matematica è data dal fatto che modelli apparentemente semplici portano a domande e teorie molto più complicate ed è l'esempio perfetto di un semplice problema che anche le più grandi menti matematiche del mondo non sono riuscite a risolvere.
Certo non sembra che in termini pratici o applicativi possa portare a nuove scoperte, ma certamente la sua risoluzione potrà essere forse solo determinata, come ipotizzava Erdős, applicando metodi e procedimenti matematici innovativi che oggi sono ancora sconosciuti.
Sorprendentemente il 3 ottobre 2017 Duccio Fanelli, docente del Dipartimento di Fisica e Astronomia dell’Università di Firenze e Timoteo Carletti, docente del Dipartimento di Matematica dell’Università di Namur in Belgio, hanno pubblicato, sul Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, "Quantifying the degree of average contraction of Collatz orbits", un'analisi della congettura che si propone come tappa di avvicinamento verso la dimostrazione di quanto ipotizzato dal matematico tedesco.....riusciranno nell'impresa? 


Note

¹Per chi volesse approfondire l'argomento suggerirei i seguenti siti 
² Per visualizzare questo numero si tenga presente che 2^60 = 1.152.921.504.606.846.976 da moltiplicare ancora per 87

Fonti

From the book

La guerra del Pacifico 1941-1945 - Il più grande conflitto aeronavale della storia, di B. Millot - Rizzoli 2002
Iteration of the Number − Theoretic Function f(2n) = n, f(2n + 1) = 3n + 2 di C.J.Everet - Adv.Math (1977)
From website 
https://en.wikipedia.org/wiki/Operation_Hailstone
https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
http://www.unifimagazine.it/dimostrare-la-congettura-collatz/
From the pictures
http://scubatravel.se
http://www.perthscuba.com/galleries/truk-lagoon-micronesia/
http://www.watermanpolyhedron.com/Collatzconjecture.html
http://swimmingthestyx.com/?p=447
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7188269
http://wikipedia.org (alcune immagini sono state rielaborate con PhatoShop)
From the video
Operation Hailstone
https://www.youtube.com/watch?v=kMgIrtq5M4o
Professor David Eisenbud Berkeley University - California
http://www.popularmechanics.com/technology/news/a22246/simple-problem-that-still-stumps-mathematicians/ 


lunedì 9 ottobre 2017

Rudolf Laban e la matematica della danza

Danza
...ma preferisco ancora la danza
a queste forme imperfette
che son le parole sgraziate,
inclini all'imbonimento dei sogni,
di voraci sentimenti...
...preferisco la danza che cuce
audaci forme di fuoco nel mio
corpo di terra, in linee aeree
lo dipana volando,
da un abbraccio a un assolo,
sempre in cerca di fluidi gesti
veraci nel sentimento
...preferisco la danza capace
di tramutare in liquida bellezza
anche le mie stonature.
(tratta da "Effimeri, totali" poesie di Barbara Bonazzi)

Penso che questa poesia sia perfetta per introdurre questo mio articolo dedicato a Rudolf Laban (1879-1958), geniale teorico ed artista poliedrico, che, dai primi del '900, ha creato una vera e propria Weltanschauung (Visione del mondo), rispondente a una visione universalistica della danza.
Una danza libera per valorizzare il gesto e il movimento del corpo esprimendo la personalità del danzatore a partire dalla sua spontaneità. 




Uno dei grandi sogni della mia infanzia fu quello di diventare una ballerina, e fin dall'età di cinque anni mi dedicai, con impegno e grande passione, a questa disciplina che per dieci anni ha comunque forgiato il mio carattere.
La danza infatti si conquista lentamente con lavoro, sudore, con un grande senso di umiltà e in questo modo prepara ad affrontare anche la vita.
La danza, oltre ad essere una meravigliosa arte, è soprattutto una disciplina molto rigorosa per la quale ci vogliono impegno, lavoro duro, ore e ore di esercitazioni quotidiane e sacrificio.
È un coinvolgimento totale di se stessi, una continua ricerca della perfezione, un lavoro assiduo nella speranza di plasmare il proprio corpo per renderlo più duttile, forte ma allo stesso tempo armonioso ed espressivo. 
Per me la danza è stata anche un modo di vivere e, con il tango argentino, è tornata ancora ad esserlo in questi ultimi anni. 
Percepisco e guardo la danza, ancora oggi, come l'avevo guardata la prima volta, con occhi incantati di bimba, e ogni volta colgo la sua capacitò di esprimere quello che l'essere umano ha dentro di sé, attraverso il movimento, il gesto, lo sguardo, tutta la propria persona e tutto quello che non riusciamo a dire con le parole. 
E'questa per me l'arte probabilmente più difficile e completa tra tutte, poiché contiene, in modo interdisciplinare, tutte le altre forme d'arte.
Come non vedere l'arte della danza legata alle altre meravigliose discipline, quali la musica, la pittura, la filosofia, la fisica, la storia, la letteratura.......e perché no, anzi forse principalmente, la matematica?
Si proprio la matematica e un esempio della sua intima correlazione lo dà l'approccio analitico-funzionale basato sullo studio fisico/matematico del movimento del corpo nello spazio del grande Rudolf Laban. 
Secondo Laban gli elementi dell’armonia si comprendono meglio utilizzando una forma geometrica, dimostrando anche come la successione armonica dei movimenti non sia casuale.


Rudolf Laban - Ballerino e studioso del movimento

Laban ma chi era costui?
Il 15 dicembre 1879 nasceva a Pozsony (ora Bratislava in Slovacchia) il grande danzatore, coreografo e teorico della danza e del movimento, Rudolf Von Laban. 
Egli dedicò tutta la sua vita alla descrizione del movimento, sia simbolico che geometrico, e il suo interesse per la matematica e la danza lo portò a strutturare un sistema di annotazione, detto dal suo nome Labanotation, ancora oggi in uso. 
Laban percepiva la danza come forma primaria e privilegiata dell’espressione umana, e, per lui, comprendere il movimento significava comprendere se stessi. 
Laban può essere considerato a tutti gli effetti uno dei “padri fondatori” della danza contemporanea di cui ha messo in luce le potenzialità educative insite nell’arte della danza, oltre ad offrire un grande contributo alla nascita della danzaterapia.
Alla base di tutti gli studi del XX secolo che hanno avuto la danza come materia di fondo c'è sicuramente l'analisi tra le relazioni esistenti tra il corpo che si muove e lo spazio in cui si esprime, tra il significato di movimento e la sua decifrazione.
Le sue idee hanno generato innovazioni non solo nella danza, ma anche nella recitazione e nella messa in scena, negli studi sulla comunicazione non verbale, in ergonomica, nella teoria educativa e formativa, nello studio della personalità e in psicoterapia.


la Labanotation è: 
- Un linguaggio che codifica movimenti e azioni mediante simboli.
- Attraverso questo metodo è possibile rappresentare graficamente tutte le forme del movimento.
- I movimenti vengono riprodotti attraverso l’uso di caratteristiche matematiche e simboliche 
Attualmente la Cinetografia viene utilizzata in appositi software algoritmici elaborati per questa speciale disciplina 

Cos'è la Labanotation?
Rudolf von Laban espresse i fondamenti della “Cinetografia labaniana” o “Labanotation”, per la prima volta sulla rivista “Schrifttanz” (Methodik, Orthographie, Erläuterungen) nel 1928, che elaborò in occasione del secondo Congresso tedesco di Danza  a Essen. 
L'analisi del movimento di Laban è un metodo e un linguaggio per  descrivere, visualizzare, interpretare e documentare il movimento umano, e trae origine da campi diversi tra cui la matematica e la geometria, l'anatomia, la kinesiologia e la psicologia. 
La Cinetografia (Kinetographie) di Laban, ormai nota e usata ovunque appunto col nome Labanotation, è un metodo di scrittura del movimento pressoché universale, nato per la danza ma utilizzabile per ogni tipo di movimento umano. 
Con simboli geometrico/astratti, su di un rigo somigliante a quello musicale ma disposto verticalmente, permette di annotare passi, gesti e movimenti di ogni singola parte del corpo unendoli in una visione complessiva. 
La Cinetografia permette così di realizzare il sogno di fissare e rendere riproducibile il movimento danzato, labile ed effimero per sua natura, evitando la perdita di opere d'arte coreutiche o di antichi balli popolari in via di estinzione e favorendo l'analisi e lo studio del movimento nelle scienze motorie, nell'educazione, nella terapia psicofisica ecc.
E' utilizzato quindi da ballerini, coreografi, attori, musicisti, atleti, ma anche da professionisti della salute come terapeuti fisici e professionali o psicoterapeuti, nonché in antropologia, consulenza aziendale e sviluppo della leadership.
Diversamente da altri sistemi di notazione quello di Laban è ispirato a principi di rigore e universalità e si basa su principi generali della cinetica che regolano il movimento del corpo umano.
La rappresentazione iconografica non può contenere tutte le informazioni necessarie per consentire la ricostruzione del movimento, come d’altra parte non lo consentono le parole che lasciano un ampio margine di ambiguità.
Quindi il presupposto da cui partì non fu quello di costruire un sistema utile ai fini della ricostruzione del movimento coreutico, ma una vera e propria lingua dotata di un simbolismo rigoroso e universalmente comprensibile.
Un sistema di notazione elaborato mettendo in correlazione danza, geometria e matematica, tenendo presente che qualsiasi danza, indipendentemente dall’origine e dallo stile, può essere descritta, e quindi riprodotta, attraverso l’uso di un linguaggio con caratteristiche matematiche (basate sulle geometrie), o mediante un linguaggio simbolico. 
L’essenziale è che questo linguaggio venga compreso e decodificato.




Il critico Pontremoli, sostiene che:
"la scienza labaniana della danza si divide in tre branche: 
- la coreosofia, o filosofia della danza, che stabilisce di quest’ultima i principi etici ed estetici
- la coreologia, disciplina analitica che studia i nessi grammaticali e sintattici del movimento e cerca di individuare le leggi che ne regolano lo sviluppo spaziotemporale
- la coreografia, scienza della scrittura della danza da intendersi sia come il prodursi del movimento in una serie di connessioni, sia come possibilità di fissare questo sviluppo discorsivo sulla carta per mezzo di un sistema univoco di segni.
Nello studio delle coreografie egli raggiunse, quello che probabilmente è il suo apice e quello per cui è maggiormente conosciuto, poiché riuscì in ciò che nessuno prima di lui era riuscito: tradurre in scrittura il movimento" 




E veniamo ora a descrivere nei suoi elementi fondamentali questa terza branca, cioè il linguaggio simbolico.
La Labanotation è ancora oggi la metodologia più usata per trascrivere una coreografia, ma in genere ogni tipo di movimento, che ha reso l’arte della danza meno effimera, sostituendosi alla tradizione a memoria (o con pochi esempi scritti) delle sequenze. 
L’idea di base della Cinetografia (dal greco kìnesis e gràfo, scrittura del movimento), o Labanotation, è che qualsiasi movimento (e qualsiasi danza) possa essere descritta tramite un linguaggio con caratteristiche matematiche e geometriche. 
Da qui l’ideazione di una simbologia che solo attraverso forme e linee indichi la lunghezza del movimento, la sua direzione, la sua altezza e la parte del corpo coinvolta. 
Laban arriva persino a identificare i piani diagonali usati nel movimento e a servirsi di queste linee per costruire le forme geometriche dentro cui idealmente si inscrive l’azione corporea. 



Lo spazio ideale entro cui un ballerino si può muovere è, a suo parere, l’icosaedro, un solido a venti facce.
Attraverso simboli, che rappresentano le linee fondamentali del corpo e le sue parti, egli è riuscito a codificare scientificamente un linguaggio unico per la danza, l’equivalente di quello che è la notazione per la musica.
Linee fondamentali che vengono disegnate a partire:
- da un “center” che indica il centro dello spazio di riferimento 
- dalle otto direzioni principali di movimento 
- dalla profondità del movimento data da simboli più o meno ombreggiati
- dalla durata del movimento
I parametri fondamentali che identificano lo studio del movimento  sono: Peso, Spazio, Flusso, Tempo, Energia e Sforzo.
La sua teoria si basa sull’analisi di direzione, altezza, tempo, della parte del corpo in movimento e del genere di movimento. 
I simboli utilizzati contengono quattro tipi di informazione fondamentali: 
- il tempo (lunghezza del simbolo), 
- la direzione (forma del simbolo), 
- il livello (colore del simbolo) 
- la parte del corpo in movimento (posizione rispetto all’asse).


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Il metodo si basa su 4 fattori di movimento: 
Spazio (S)
in cui identifica:
- direzione e livelli dei passi e dei gesti 
- cambio di fronte 
- estensione dei passi e dei gesti
- forma dei gesti. 
Tempo (T)
che può manifestarsi come:
- rapido e lento nei gesti e nei passi
- ripetizione di un ritmo
- tempo di un ritmo
Peso (P)
che si contraddistingue in: 
- tensione forte o debole
- posizione degli accenti
- fraseggio risultante da periodi accentati e non accentati
Flusso (F)
che può essere: 
- scorrevole 
- interrotto
- arrestato.
Spazio, Tempo, Peso e Flusso sono quindi i fattori di movimento attraverso i quali la persona che si muove adotta un particolare atteggiamento (Energia e Sforzo), che, a seconda dei casi si può descrivere come: 
- un atteggiamento flessibile e lineare nei confronti dello spazio 
- un atteggiamento di prolungamento o di abbreviazione nei confronti del tempo 
- un atteggiamento rilassato o energico nei confronti del peso 
- un atteggiamento di liberazione o di contenimento nei confronti del flusso.



Come descrive chiaramente Leonetta Bentivoglio (in "La danza contemporanea, Milano, Longanesi, 1985 pag.60) 
"Laban si serve, per chiarire tale codificazione, di una figura geometrica esemplificativa l’icosaedro, ossia un solido regolare costituito da venti triangoli equilateri che si incontrano in dodici punti a destra e dodici a sinistra. 
La figura prescelta racchiude in sé tre dimensioni spaziali: 
lunghezza, larghezza e profondità. 
Analogamente, il corpo umano si muove in tre direzioni: 
in senso verticale (dall'alto verso il basso o viceversa), 
in senso orizzontale (da destra a sinistra o viceversa) 
e nel senso della profondità (avanti e indietro). 
Le due parti simmetriche del corpo umano, destra e sinistra, possono compiere nelle tre dimensioni una gamma di movimenti la cui direzione nello spazio può essere sempre stabilita mediante la definizione dei punti d'incontro (dodici per la destra e dodici per la sinistra) delle venti facce triangolari dell'icosaedro, i quali punti costituiscono gli estremi delle linee tracciate dal movimento del corpo nello spazio. 
Così Laban può ricostruire le forme geometriche del movimento naturale servendosi delle ipotetiche diagonali segnate dal moto, che congiungono i punti da cui si parte o verso i quali si va: le diagonali corrispondono alla struttura anatomica e simmetrica dei movimenti umani.” 




Laban per ideare questa simbologia e pubblicarne quindi i risultati si avvale di ricerche scientifiche e analisi condotte sia sui movimenti della danza che sul movimento in generale.
Interessante notare che Laban compì anche analisi sugli operai, quando, superati i sessant’anni e dopo aver già fondato il Laban Art Movement Studio a Manchester (che dirigerà fino alla morte, nel 1958), si trovava in Inghilterra, obbligato a lasciare Berlino nel 1938 a causa della censura nazista che non apprezzava le sue idee anticonformiste. 
Era questa l’epoca in cui nascevano le prime catene di montaggio, emblema supremo della spersonalizzazione, e Laban mostra per la prima volta il corpo come uno strumento per opporsi all’alienazione, per affermare il proprio personale modo di stare nel mondo. 
Proprio in quest’ottica acquistano un senso maggiore queste sue osservazioni sugli operai.
Le catene di montaggio prevedono l’esecuzione di movimenti ripetitivi e uguali per tutti, tuttavia Laban aveva notato che ogni operaio li eseguiva a modo suo, coi propri tempi e con la propria personale gestualità, confermando il suo motto "Ognuno è un danzatore". 


Dal 1913 al 1918 Rudolf Laban aveva aperto una Scuola d’Arte a Monte Verità.
Monte Verità (Monte Monescia, una collina sopra Ascona nel Canton Ticino) era una comune, una colonia 
cooperativa vegetariana, dove, alla fine del 1800, si insediò il “movimento alternativo”.

Sono questi anche gli anni in cui l’ammirazione per le sue idee si diffonde tra le nazioni, e in cui fioriscono in tutta Europa scuole labaniane. 
Laban stesso fonda un istituto di ricerca scientifica sulla danza, Laban Art of Movement Studio, che dirige a fianco della sua collaboratrice Lisa Ullmann, proseguendo la sua instancabile attività creativa fino all'anno della sua morte a Londra nel luglio 1958.
Un apice glorioso conseguenza della grande opera di teorizzazione, avvenuta negli anni precedenti, tra Monaco e Zurigo, in cui vengono posate le basi del suo pensiero, nel quale il ballo diventa una danza pura in cui azione, musica e parola si intrecciano in modo indissolubile e continuo.
Il corpo viene visto da Laban in maniera del tutto rivoluzionaria. 
Non più un corpo, come volevano Platone e Cartesio, gabbia della mente, un’appendice ingombrante che deve eseguire gli ordini del pensiero, bensì protagonista e mezzo tramite cui agire nel mondo e autoaffermarsi. 
Nonostante la mole delle sue teorie sia legate a scienze esatte, come la fisica e la matematica, l’idea di Laban non è affatto concentrata solo sulla forma, e le figure che si vanno a costruire non devono essere, come per il balletto classico, solo esteticamente piacevoli, ma soprattutto veicolare un’emozione.



Con un ritardo di cinquant'anni appare nel 1999 la traduzione di "L'arte del movimento", uno dei testi fondamentali del teatro e della danza di questo secolo, frutto dell'attività artistica, teorica e pedagogica di Rudolf Laban, che può considerarsi capostipite indiscusso della danza espressiva tedesca, anzi della danza "moderna". 
La parte più interessante del testo è forse costituita dai primi tre capitoli, dove vengono esposti i principi della meccanica del movimento seguiti da un'analisi dei quattro fattori del moto (Spazio, Tempo, Peso e Flusso), e da una serie di esercizi mirati all'accrescimento della consapevolezza delle potenzialità dinamico/espressive del corpo. 
Di ciascun movimento viene quindi proposta la trascrizione grafica secondo il metodo di notazione ideato da Laban, a tutt'oggi il più efficace sistema di registrazione e preservazione delle coreografie.
Le riflessionì labaniane sulla danza e sul teatro, al pari di quella di altri grandi maestri del novecento, si basa su una visione psicofisica del lavoro del performer, ma i principi e i meccanismi che Laban individua sono stati applicati, come già evidenziato, anche in ambiti extra-teatrali, come la terapia di recupero di disabili e malati mentali e il mondo dell'industria per il miglioramento dell'efficienza dei lavoratori. 




Ed è proprio da questo libro (“L’arte del movimento” di Rudolf von Laban - Editore: Ephemeria - 1999) che traggo queste ultime frasi che ben caratterizzano ed esemplificano l'opera del grande innovatore.
Questa fu infatti la grande rivoluzione labaniana che, alla statica della danza accademica (in cui la successione di passi, salti, giri, pose e combinazioni varie avviene sempre in senso planimetrico, quindi soltanto in otto direzioni), contrappone una concezione stereometrica (oltre che ritmico-dinamica) del movimento. 
La codificazione del movimento in base alle sue dinamiche generatrici (le dodici direzioni offerte dalla tridimensionalità dell'icosaedro) in impulso monodimensionale (Impuls), in tensione/distensione bidimensionale (Spannung-Entspannung) e in slancio tridimensionale (Schwung), amplia così all'infinito il raggio di possibilità espressive del movimento.
Questo sistema labaniano (la Coreutica), oltre a costituire un sistema pratico di iscrizione dei movimenti nello spazio, è rivelatore di una concezione del rapporto con lo spazio radicalmente opposta a quella del balletto classico accademico.
In questa visione rivoluzionaria se si concepisce lo spazio a partire dal corpo, è il danzatore stesso che crea i propri limiti, il proprio spazio personale di movimento. 
I termini ne risultano capovolti: il moto non può venire imposto da direzioni prefissate secondo un unico codice, perché è dal moto stesso che scaturisce la direzione. 
Non c'è un'estetica a priori che definisce lo spazio e ne impone i limiti al corpo, ma è il corpo che crea il proprio spazio e lo definisce.
Non solo ed è proprio nelle basilari coordinate del sistema labaniano (partendo dalla fondamentale distinzione tra la danza accademica, considerata disciplina di posizioni, e la danza libera, che è invece disciplina di movimento), sono già pienamente riconoscibili 
alcuni dei principi essenziali delle varie tecniche di danza moderna. 
Basterebbe soltanto la classificazione labaniana dei movimenti "principali", ossia i movimenti centripeti (di concentrazione e accumulazione di energia) e i movimenti centrifughi (quelli che partono dal centro del corpo verso l'esterno in un'esplosione impulsiva o in un'estensione controllata), per determinare quelli che saranno i principi di partenza delle massime tecniche di modern americano (vedi, ad esempio, la tecnica creata da Martha Graham).


Modern americano, la tecnica creata da Martha Graham (1884-1991)

Sperimentatore radicale, Laban passò attraverso l'espressionismo, il dadaismo, il surrealismo, restando sempre e soltanto se stesso, libero e geniale pensatore, artista poliedrico, creatore di un' autentica Weltanschauung rispondente a una visione universalistica della danza come espressione connessa al vivere dell'essere umano e 
al suo rappresentarsi.
Laban ha saputo anticipare i grandi temi del nuovo teatro di danza del ventesimo secolo ed è proprio sulla strada indicata da Laban che si muoverà tutta la danza libera contemporanea centroeuropea e americana.



Nel video documentario su Rudolf Laban alcune immagini
sono tratte dal suo soggiorno Monte Verità dove Laban
dal 1913 al 1918  aveva aperto una Scuola d’Arte



Fonti

From the book
L’arte del movimento di Rudolf von Laban - Editore: Ephemeria - 1999
La danza contemporanea di Leonetta Bentivoglio - Editore: Longanesi - Milano 1985 
Rudolf Laban - An Extraordinary Life di Valerie Preston - Editore: Dance Books - London 1998
From website 
Esperienza della danza: spazio personale statico, e dinamica postural-corporea (file .pdf)
Erica Venturi
Le azioni nella danza: La madre di tutte le arti (file .pdf)
Elisabetta Aiello
La danza secondo Rudolf Laban (sito)
http://user.uni-frankfurt.de/~griesbec/LABANE.HTML
From the pictures
https://en.wikipedia.org/wiki/Rudolf_von_Laban
https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Labanotation?uselang=it
https://alchetron.com/Rudolf-von-Laban-1249051-W
Alcune immagini sono state rielaborate con PhatoShop
From the video
rai 3: https://www.youtube.com/watch?v=iQUq94KJDYM
documentario foto d'epoca: https://www.youtube.com/watch?v=FSShj74qcwo