venerdì 31 luglio 2015

Belfagor e Annalisa........un dialogo surreale!

Sono in vacanza all'Aprica, un bel passo montano dell'alto valtellinese, e oggi abbiamo deciso di fare un'escursione al Pizzo del Diavolo, 2.924 mt, passando per i suggestivi laghi di Gelt e di Malgina.
Una bella e lunga escursione che dalle cascate di val Caronella ci porta all'omonimo passo a quota 2612 mt, e quindi, su un sentiero che si inerpica, al colletto del Gelt posto a quota 2730 mt. 



Cascate di Val Caronella


Arrivati al Colletto del Gelt, sotto di noi si presenta all’improvviso il lago Gelt (quota 2562 mt) il più alto delle Alpi orobiche e proprio così chiamato perché per la maggior parte dell’anno é ghiacciato. Sia il tratto di salita al Colletto che il tratto di discesa al lago Gelt, pur essendo ripidi, non presentano strapiombi o salti rischiosi e la vista del lago è bellissima con la sua forma a cuore, dentro una conca di pura roccia.


Lago di Gelt

Dopo una fermata al bordo del lago, continuando nella discesa, seguiamo il facile e ben segnato sentiero, e arriviamo al lago Malgina (2339 mt) situato proprio ai piedi del Pizzo del Diavolo della Malgina (2911 mt). 



Lago di Malgina

Da qui abbiamo due possibilità: seguire il sentiero n°310 e raggiungere il rifugio Barbellino in circa 30 minuti o prendere il sentiero che porta al Pizzo del Diavolo in circa un'ora e 30.
E' ormai quasi sera e decidiamo di fermarci al rifugio e proseguire l'indomani per il Pizzo del Diavolo della Malgina. 
Il rifugio Barbellino è un' oasi di pace immersa nella natura. Un luogo di silenzio interrotto solo dal rumore delle candide e fredde acque del fiume Serio.


Arrivo al rifugio Barbellino sul laghetto omonimo

Intorno a un tavolone con una tovaglia a quadrettoni, decidiamo quindi il percorso che ci porterà in vetta, ripassando dal lago Malgina, e stabiliamo la discesa dal lato opposta della salita, seguendo la Val Morta (così denominata per la mancanza di vegetazione e non per tragici eventi) che raggiunge il Rifugio Curò a quota 1903 mt in circa un'oretta e quindi un’altra ora di comodo sentiero per tornare al rifugio Barbellino coprendo i 230 mt di dislivello.
Ci corichiamo nel camerone mansardato e cerchiamo di prendere sonno, stanchissimi per la lunga e impegnativa camminata.




Durante la notte il Pizzo del Diavolo, la valle Morta, il lago Gelt diventano incubi da cui esce una figura, direi spaventosa, che incomincia a parlarmi:



Belfagor raffigurato nel Dictionnaire Infernal 


Ciaoooooooooo, non mi riconosci?

Davvero no!!!! (Rispondo terrorizzata) 

Ma che matematica sei se non riconosci Belfagor?

Anche se la matematica per alcuni è "spaventosa" non vedo proprio come tu, un diavolo sotto tutti gli aspetti, possa c'entrarci con le mie conoscenze matematiche!

Conoscenze matematiche direi un pochino scarse e limitate!

Oh insomma, sei brutto e spaventoso proprio come ti hanno raffigurato nel Dictionnaire Infernal  e per di più odioso e antipatico!

Va bene cercherò di essere meno odioso e proverò ad aiutarti a capire

Ma capire cosa? Che tu sia un diavolo, appunto il diavolo Belfagor, è evidente!

Allora torniamo alle tue scarse competenze matematiche

Ok....spiegami

Spero almeno che tu sappia che esistono i numeri primi!?

Certo sono quei numeri divisibili solo per 1 e per se stessi.....che scoperta! 
Non bisogna essere un matematico per saperlo......lo sanno anche gli alunni delle elementari!

Bene! Alla prima domanda hai risposto esattamente, allora andiamo alla seconda: quali sono i numeri palindromi?

Ma per chi mi prendi, per un' analfabeta? 
Un numero è palindromo quando le sue cifre rappresentano lo stesso valore sia che siano lette da destra che da sinistra.......dimenticavo di dire, visto che continui a dubitare delle mie conoscenze......anche se scritte in una particolare base.
Meglio sottolinearti che non esistono solo i numeri, così come ci sono più noti, in base dieci (con le cifre 0.1.2.3.4.5.6.7.8.9), ma anche in altre basi (sistema a base 2, binario, con solo le cifre 0 e 1, base 3, 4 ecc)

Bene, bene risposta esatta anche se un po' stucchevole e sofistica!!! Non ti permetto di fare del sarcasmo.....è un argomento serio!

E allora? Numeri primi e palindromi cosa c'entrano con Belfagor?

Non avere fretta ci sono altre cose che dovresti sapere prima di svelarti veramente chi sono!

Dimmi sono tutta orecchi!

Ho detto di non essere sarcastica!
Soprattutto adesso che quello che sto per chiederti è legato alla religione e all'occulto. Cosa significano le cifre 666?

Beh come matematica posso solo dirti che è un numero naturale pari composto da tre cifre ripetute (il 6), che segue il 665 e precede il 667, che è composto, abbondante, è un numero di Harshad, di Smith, è triangolare........insomma non posso certo ricordarmi ed elencarti tutte le proprietà numeriche di cui gode!!!??

Ma proprio non capisci!!! Ti ho chiesto il significato religioso, esoterico, occulto.

Vagamente posso ricordare che è detto "numero della Bestia", ma non ricordo altro.

Si propro questo! 
Il 666 è il "numero della Bestia" e appare in un solo passo del Nuovo Testamento, nella Apocalisse di Giovanni, riferito a una bestia che sale dal mare e devasta la terra:
"Faceva sì che tutti, piccoli e grandi, ricchi e poveri, liberi e schiavi ricevessero un marchio sulla mano destra e sulla fronte; e che nessuno potesse comprare o vendere senza avere tale marchio, cioè il nome della bestia o il numero del suo nome. Qui sta la sapienza. Chi ha intelligenza calcoli il numero della bestia: essa rappresenta un nome d'uomo. E tal cifra è seicentosessantasei".

Si.....ma perché tu, Belfagor, vieni associato al 666?

Mi sembra evidente! 
Se nella Bibbia il numero sette è sempre indicato come il numero della perfezione e della natura divina, il numero sei è quindi il numero dell'imperfezione e della natura umana, incline al peccato, alle passioni disordinate e alla disobbedienza alle leggi di Dio.
Se il 666, come dice l'Apocalisse, è un numero ed un nome di uomo, esso indicherebbe sia l'uomo che la sua precisa missione. 
Il numero di uomo potrebbe essere quindi il simbolo di un dualismo 333 x 2 legato all'oscillazione tra bene e male, e alla precisa missione simbolica di una specie di "anti-Trinità" (ripresa altresì nella Apocalisse al capitolo 16). 
In pratica, Bestia-antiCristo-falso Profeta, contrapposti a Padre-Figlio-Spirito Santo.
E quindi il numero 666 è simbolo del male ed è per questo che è strettamente legato a me, Belfagor! 

Ma che tu fossi un diavolo mi è stato chiaro da subito!!! Tanto più che siamo proprio sotto il Pizzo del Diavolo, che posso immaginare sia casa tua??!!!

Vedi che non hai capito proprio niente! 
Io sono Belfagor, il numero primo palindromo 1.000.000.000.000.066.600.000.000.000.001 
E oltre a contenere al mio interno le cifre 666, tipicamente associate al Diavolo o alla Bestia sono caratterizzato da 13 zeri a destra e altrettanti zeri a sinistra del 666, e, come sai, al numero 13 è legato un significato superstizioso di cattivo augurio.

Beh non è poi detto che il 13 sia di cattivo augurio. Per me è un simbolo di fortuna.....e poi sono nata proprio il 13 maggio!

Un'ultima cosa devo svelarti prima che arrivi l'alba e che debba sparire. 
Tu che, insieme al Carnevale della Matematica, parli sempre di π, sai qual'è il mio simbolo?

Non saprei, ma potrei cercare di indovinare. Data la tua mente contorta e capovolta potrebbe essere un π capovolto!!!???

Oh finalmente uno sprazzo di furbizia!
Si proprio così! Il mio simbolo, quindi il simbolo del "numero di Belfagor" è un  π capovolto!

Non poteva che essere una lettera inesistente!

Altro sprazzo di furbizia!
Questo simbolo si trova infatti per la prima volta nel Manoscritto Voynich, un codice illustrato, pare risalente al XV secolo, scritto con un sistema di scrittura che a tutt'oggi non è stato ancora decifrato. 
Il manoscritto contiene anche immagini di piante che non sono identificabili con nessun vegetale attualmente noto e l'idioma usato nel testo non appartiene ad alcun sistema alfabetico/linguistico conosciuto. 
Viene infatti definito "il libro più misterioso del mondo". 

Devo ammettere, Belfagor, che mi sei diventato quasi simpatico e mi sembri meno brutto!!! Saranno le tue doti "matematiche" che ti rendono meno spaventoso!

E tu, Annalisa, sei ora un po' meno ignorante perché hai conosciuto me! E vedrai che troverai altri "numeri famosi"!!!
Ti saluto devo proprio sparire perché le tenebre stanno per lasciar spazio alla luce dell'alba, per me deleteria. Addio!

Ciaooooooooooo!


Numero Belfagor - Numero primo palindromo
 1.000.000.000.000.066.600.000.000.000.001 


Sono ormai le otto del mattino e dopo una bella dormita, e un sogno che sembrava quasi vero, sono pronta per partire alla volta del Pizzo del Diavolo.
Risaliamo al lago della Malgina, imbocchiamo il sentiero segnato con qualche bollino rosso e qualche omino in pietra, quasi tutto su pietraia fino al nevaio e, seguendo quindi la traccia del sentiero che va a destra, ci dirigiamo verso il passo della Malgina. Arrivati in prossimità del passo, la traccia del sentiero piega decisamente a sinistra su un ghiaione che porta proprio sotto la vetta del Pizzo e da qui, per ripide ma facili roccette, raggiungiamo agevolmente la vetta in 20 minuti.



Dal Pizzo del Diavolo: Pizzo Strinato, Passo Grosso di Pila, Cime Caronelle e laghi di Gelt e  Malgina



Dal Pizzo del Diavolo: Monte Gleno, Monte Costone e Pizzo Strinato


Dalla croce del Pizzo del Diavolo: La Presolana e Vigna Soliva 

Beh dalla vetta, a quasi 3000 mt. (2911 mt. per la precisione), con questo cielo limpido, solcato solo da qualche nuvoletta, si gode un panorama indimenticabile. 
Verso sud appare maestoso il Monte Gleno con ai lati il Pizzo Recastello e il Pizzo Strinato, e più in basso il lago della Malgina e il lago Gelt. Ad est si vede il monte Torena, oltre il quale si apre la Valle di Belviso, con a nord le sorgenti del Serio. Ad ovest invece si ha una splendida visuale della Bocchetta dei Camosci e del Pizzo Coca, mentre a nord si apre la Valtellina.

Ma sogno o son desta? 
Ecco il mio "amico" Belfagor che fa capolino proprio in vetta!







Fonti

From Website
https://it.wikipedia.org/wiki/Pagina_principale
http://www.voynich.nu/
From the Pictures
Annalisa Santi
Rifugio Barbellino
http://www.rifugiobarbellino.com/index.htm
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Belfagor


sabato 11 luglio 2015

Tartaglia e la "poesia" rubata

Il Carnevale della Matematica di questo mese di luglio è ospitato da Dioniso e ha per tema, come annunciato nel suo Preannunciazò "Matematica e Rinascimento", dove "Rinascimento" è inteso in tutti i suoi significati etimologici e non.
Confesso che in questo mese, tra impegni vari e caldo a volte insopportabile, non ho avuto tempo e voglia di pensare a un post che potesse adattarsi al tema, finché non ho ascoltato una pubblicità (video qui) apparsa recentemente in televisione in cui si accenna a Leonardo Pisano detto il Fibonacci.
In questa pubblicità gli ideatori dimostrano una notevole ignoranza, attribuendo al Fibonacci un fantomatico "codice".......e questo purtroppo porterà ad identificare la figura del grande matematico.
Forse hanno confuso il nome? 
Infatti si chiama Leonardo come il grande Da Vinci di cui è invece noto il famoso Codice.
O forse per loro successione è sinonimo di codice?
Non so dare una risposta spero solo che quando parlerò ai miei alunni degli enormi contributi di Fibonacci, anche alle recenti matematiche dei frattali, non mi rispondano: "ah si, Fibonacci, quello del codice". 



Spirale di Fibonacci - Opera al neon di Mario Merz

Comunque Fibonacci è forse uno dei più grandi matematici di tutti i tempi e, anche se non si sognò mai di stilare un "codice", contribuì, con altri matematici del tempo, alla rinascita delle scienze esatte dopo la decadenza dell'Età Tardo Antica e del Basso Medioevo e stabilì un connubio fra i procedimenti della geometria greca euclidea (gli Elementi) e gli strumenti matematici di calcolo elaborati dalla scienza araba e alessandrina, mettendo le basi proprio per quella speculazione algebrica che caratterizzerà la matematica del Rinascimento. 
Questa associazione tra Fibonacci e il Rinascimento mi è saltata agli occhi ricordando anche la proprietà (già precedentemente vista in un mio articolo) che lega la successione di Fibonacci al triangolo di Tartaglia. 
Dal triangolo di Tartaglia si possono infatti ricavare i numeri di Fibonacci, sommando i numeri delle diagonali (come evidenziato nella figura).



Numeri di Fibonacci ottenuti sommando i due numeri precedenti:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,..........

E Tartaglia appunto è il matematico rinascimentale autore della poesia del titolo.
Ma andiamo per gradi e introduciamo il Rinascimento e la sua influenza sulla matematica. 

Il Kline assume come limiti del periodo rinascimentale il 1400 ed il 1600 circa. 
Sono paletti approssimativi, tenendo presente il fatto che il termine Rinascimento è usato anche per indicare tendenze diverse nei vari campi del sapere, spesso cronologicamente non coincidenti. 
Comunque sia, nel periodo che va dal 1400 al 1600, l'Europa fu profondamente scossa da un certo numero di eventi che ne alterarono profondamente il polo culturale e le prospettive intellettuali, stimolando anche un'attività matematica su vasta scala e un ritorno di questa alle radici "magiche", e quindi astratte, da cui era partita fin dai tempi dei greci e dei pitagorici.
Nel 1453 cade Costantinopoli in mano ai Turchi e ha termine così l’impero bizantino, si conclude la peste in Europa da cui consegue una rinascita della società, si ha l’invenzione della stampa che renderà disponibile la cultura ad un maggior numero di persone.
Il primo libro viene infatti stampato nel 1447 e già alla fine del 1400 sono disponibili più di 30.000 edizioni di diverse opere.
Inoltre questo periodo è caratterizzato storicamente dall'alternarsi di condizioni politiche "positive" e di governi "democratici" che favoriscono l'affermarsi dell'individuo (si inizia a parlare di Umanesimo), in forte antitesi con l'appiattimento e l'omogenizzazione del Medioevo, durante il quale l'uomo era schiacciato dalla potenza divina e l'individualità era una prospettiva nemmeno considerata.
Probabilmente questi, insieme ad altre concause, sono i motivi che hanno dato, a partire dalla metà del XV secolo, una notevole ripresa degli studi matematici.

In questo breve post non posso certo parlare di tutti gli enormi contributi che i  matematici rinascimentali diedero allo sviluppo di questa disciplina, ma mi vorrei soffermare solo su alcuni contributi algebrici alle soluzioni delle equazioni, e poi in particolare sul contributo "poetico".

A parte i singoli metodi di risoluzione usati dalle varie civiltà, le equazioni algebriche di primo grado venivano risolte fin dall'antichità "per tentativi", e nei greci per via geometrica. Soltanto a partire dagli arabi (IX secolo d.C.) si può iniziare a parlare di risoluzione in senso moderno.
E le equazioni di secondo grado?
Già i matematici babilonesi (intorno al 400 a.C.) e i cinesi utilizzano la tecnica del completamento dei quadrati per risolvere equazioni quadratiche con radici positive ed Euclide descrive un metodo geometrico più astratto intorno al 300 a.C. 
Tuttavia, il matematico cui si attribuisce la formula algebrica generale, che ingloba sia le soluzioni positive sia quelle negative, è l'indiano Brahmagupta (VII sec. d.C.).
Anche prima del sedicesimo secolo i matematici si erano imbattuti in alcune equazioni di grado superiore al secondo, ma si trattava sempre di equazioni particolarmente semplici, e dunque di facile risoluzione, o equazioni riconducibili a quelle di grado due, oppure rappresentabili geometricamente. 
Nessuno prima del sedicesimo secolo aveva dato una formula risolutiva!



Raffaele Bombelli (1526 – 1573) - Algebra - 1560

Non voglio fare certo un trattato e addentrarmi ad analizzare tutti i contributi dei grandi algebristi rinascimentali, mi limiterò a citarne solo alcuni:

Nicolas Chuquet (1445 - 1488) scrive "Triparty en la science des nombres", il primo trattato di aritmetica razionale, radici di numeri e "regle des premiers" ossia la regola dell’incognita (algebra).
Luca Pacioli (1445 – 1514) scrive la "Summa de aritmetica, geometria, proporzioni et proporzionalità" (1494), in cui l’algebra è tratta essenzialmente da testi medievali ed arabi.
Nel 1489 Johannes Widmann (1460 - 1498 circa) a Lipsia pubblica "Rechenung auff allen kauffmanschafft", in cui compaiono per la prima volta i segni + e -.
Nel 1524 Adam Riese (1492 – 1559) scrive "Die Coss", un trattato di algebra in cui dà le basi per sostituire il calcolo con l’abaco e le cifre romane con quelle indo-arabe (ancora oggi "nach Adam Riese" indica in Germania l’accuratezza dei procedimenti aritmetici).
Nicolò Tartaglia (1499 circa – 1557) matematico a cui è legato il noto triangolo numerico, detto triangolo di Tartaglia e la scoperta della risoluzione algebrica delle equazioni di terzo grado. Sua è la prima traduzione dal latino in italiano degli Elementi di Euclide (1543)
Gerolamo Cardano (1501 – 1576) scrive "Ars magna" (1545) che dà la soluzione di equazioni di terzo e quarto grado. Prende il terzo grado da Tartaglia ed il quarto grado da Ferrari.
Lodovico Ferrari (1522 – 1565) matematico italiano che fu il maggiore responsabile della soluzione delle equazioni di quarto grado che Cardano pubblicò.
Raffaele Bombelli (1526 – 1573) scrive Algebra nel 1560 in cui fa un resoconto delle conoscenze dell'epoca (calcolo con potenze e delle equazioni) e prende in esame le radici immaginarie ("quantità silvestri") e i numeri complessi ("più di meno" e "meno di meno" per +i e -i), stabilendone le regole di calcolo (addizione e moltiplicazione). Numeri che più tardi Cartesio chiamerà "numeri immaginari".
Robert Recorde (1510 – 1558) scrive Whetstone of Witt (1557) dove compare per la prima volta il segno =



(Umberto Bottazzini - La "grande arte": l'algebra nel Rinascimento -
a cura di Paolo Rossi, Storia della Scienza Vol.1)

E proprio ricordando Tartaglia e Cardano ho ritrovato quel contributo "poetico" di cui parlavo, vale a dire una delle più celebri poesie della storia della matematica.
E' quella che Niccolò Tartaglia inviò il 9 Aprile 1539 a Gerolamo Cardano per comunicargli la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. 
Il punto interessante di questa poesia è che è possibile analizzare ogni singolo verso e tradurlo nel linguaggio matematico. 

Quando che ‘l cubo con le cose appresso [x3 + px ]
se agguaglia à qualche numero discreto [= q]
trovan dui altri differenti in esso. [u - v = q]
Dappoi terrai questo per consueto
che’l lor produtto, sempre sia eguale
al terzo cubo delle cose neto. [uv = (p/3)3]
El residuo poi suo generale,
delli lor lati cubi ben sottratti [√u - √v]
varra la tua cosa principale. [= x]
Questi trovati, et non con passi tardi,
nel mille cinquecent’ e quattro e trenta, [1534]
con fondamenti ben sald’ e gagliardi,
nella città del mar’intorno centa. [Venezia]

Tenendo presente dalla "poesia" che: 



ed esprimendo il procedimento in un'unica formula si ottengono le note formule cardaniche:




Tartaglia svelò così a Cardano la famosa formula, dietro la promessa che non ne avrebbe parlato ad alcuno, anche nella speranza di ottenere una qualche introduzione nel mondo accademico milanese, che invece non arrivò.




Cardano, con l'aiuto del suo allievo Ludovico Ferrari, approfondì le formule dell'equazione cubica e la migliorò, trovandone una anche per il caso generale. 
Dato che Tartaglia non si decideva a pubblicare i suoi risultati, qualche anno dopo il Cardano, con l'aiuto di Fiore, scoprì da alcune carte che erano in possesso del genero di Dal Ferro che la formula era stata inventata anche da quest'ultimo. Pertanto si ritenne libero dalla promessa fatta al Tartaglia e si decise a pubblicare i suoi risultati nella "Ars Magna" (1545), suscitando quindi  le ire di Tartaglia.
Nel 1546 infatti Tartaglia pubblicò la sua opera "Quesiti et Inventioni diverse" dove, con parole offensive verso Cardano (chiamandolo "huomo di poco sugo"), denunciava la violazione del giuramento fattogli. 
In conseguenza di ciò il Ferrari, in difesa del suo amico e professore, lanciò il primo cartello di disfida contro Tartaglia, seguito da altri cinque nel giro di due anni, che portarono poi allo scontro da cui Tartaglia ne uscì sconfitto.
Tartaglia fu infatti non solo umiliato e sconfitto, ma poco dopo vide il ritiro del suo incarico di professore.
Solo i posteri ridaranno a Tartaglia parte della paternità dell'invenzione della formula risolutiva dell'equazione cubica, chiamandola formula di Cardano-Tartaglia, riconoscendo così che la "formula", in poesia, era stata rubata! 




Fonti
From book
La formula segreta - Fabio Toscano
http://www.ibs.it/code/9788851801243/toscano-fabio/formula-segreta-tartaglia.html
Storia del pensiero matematico - Morris Kline
http://www.einaudi.it/libri/libro/morris-kline/storia-del-pensiero-matematico-i/978880615417
From webside
https://it.wikipedia.org/wiki/Pagina_principale