martedì 10 febbraio 2015

Gli Incas e il loro "strano" calcolo matematico

"Famolo strano", la famosa frase di un film di Carlo Verdone e adottata da RudiMathematici per lanciare il tema di questo 82° Carnevale della Matematica, mi ha ricordato una conferenza a cui assistetti tempo fa, al Convegno Internazionale “Calcolo Matematico Precolombiano”, tenuta su un interessante studio/ricerca sulla matematica degli Incas e sulla sua interpretazione. 
Lo "strano" era appunto l'Abaco Inca, una realtà numerica decisamente strana e diversa dal sistema decimale, basato invece sull' istintiva possibilità di far di conto con le 10 dita.
Il professor De Pascale che all'inizio di questo secolo si occupò seriamente e profondamente nella decifrazione dell’Abaco Inca,  dimostrò essere un meccanismo di conteggio molto flessibile, che pur basandosi su un sistema di numerazione in base 40 può indifferentemente funzionare non solo nella base 10 e 36/40, ma anche nelle basi 12, 13, 18, 20, ecc.
Nel dicembre 2000 Nicolino De Pasquale ipotizza l'utilizzo da parte degli Incas di strumenti di calcolo basati su un sistema di numerazione in base 40 con pesi (1, 2, 3, 5) appartenenti alla successione di Fibonacci,  sistema di pesi  comune anche ad altre popolazioni come i Maya, i Tiwanaku, gli Huari, gli Egizi. 

Libro "Nueva Corónica y Buen Gobierno", scritto nel 1615 da Guaman Poma Felipe de Ayala

Purtroppo gli studi precedenti, e per più di 400 anni dal primo contatto, avevano cercato di interpretare l’Abaco Inca rispetto alla base 10, nonostante incongruenze e poca compatibilità con quest'unica base di calcolo.

"Una sorta di “dogma decadico”, di “postulato numerico” sembra aver davvero ritardato il progredire della nostra conoscenza della cultura Inca. Ad un primo esame, questo sistema di numerazione in base 40 si distingue per caratteristiche peculiari degne di essere indagate per fare piena luce sul passato e, nel contempo, trarre preziose indicazioni nella ricerca di nuove e più efficienti architetture di calcolo."

L’Abaco Inca (in forma di ”yupana”), presenta una caratteristica davvero "strana", quella di essere basata sulla successione del matematico Leonardo Pisano detto il Fibonacci (Pisa, settembre 1170 – Pisa, 1240). 
Le 40 combinazioni del codice sono ottenute mediante un particolare sistema di numerazione (basato appunto sui primi termini della successione di Fibonacci e intrinsecamente ridondante) con i coefficienti definiti dal medesimo stato binario dei singoli "semi". 




"Proprio questa peculiarità ha favorito la costruzione di una calcolatrice elettronica (per le operazioni aritmetiche fondamentali) come fedele riproduzione dell’abaco, sebbene basata su una scheda a microprocessore con segnali binari di ingresso e di uscita, corrispondenti allo stato dei singoli “semi”. Il software del dispositivo è stato implementato esclusivamente con appositi algoritmi dedotti dalla struttura stessa dell’abaco, con l’esclusione tanto dell’aritmetica binaria, quanto di quella decimale. Questo prototipo ha permesso così di approfondire la conoscenza del codice Inca, a stretto contatto con “pregi” e apparenti “non pregi” di tale sistema di numerazione. L’approccio iniziale ed il primo giudizio sono stati inevitabilmente “occidentali”, con tutti i condizionamenti derivati dall’assuefazione all’uso del nostro rigido sistema binario. Di conseguenza un notevole intralcio alla “fluidità” dei primi tentativi di sintesi è scaturito proprio dalla ridondanza del codice Inca che permette di scrivere un medesimo numero in più modi. Ma, ad una lettura più attenta e meno condizionata, questa caratteristica si è rivelata proprio come base di interessantissimi approfondimenti a partire dal metodo di "somiglianza" (da sfruttare ad esempio nella sottrazione e nella divisione) che dà una precisa risposta al perché gli Incas abbiano adottato tale sistema, fino ad una radicale rilettura della stessa ridondanza come "eccedenza di Qualità" (v. Giannantoni, 2002), per nuovi (o antichi) sistemi di numerazione e, più in generale, per nuove architetture di calcolo."

Nella miniatura il funzionario amministrativo (“contador mayor y tesorero” o camayoc) regge fra le mani un quipu e ai suoi piedi è presente lo schema della yupana (Figura 1)


Prima di addentrarci ad analizzare questi "strani" sistemi di calcolo vediamo storicamente quali fatti hanno permesso questa ulteriore e proficua indagine .
Dell'Abaco Inca illustrato nella miniatura (Figura 1) in forma di yupana ai piedi del Curaca (accanto al quipu, nelle raffigurazioni dell’epoca, troviamo spesso la yupana che si presenta come una sorta di pallottoliere), nel prezioso libro scritto e illustrato nel 1615 dal cronista indigeno Felipe Guaman Poma de Ayala ("Nueva Corónica y Buen Gobierno" - Institut d’Ethnologie, Paris), e rimasta a disposizione degli studiosi fino dal 1936,  non ne era stata data una decifrazione coerente, in quanto  le precedenti ipotesi, in chiave numerica, erano state formulate su base decimale nonostante la presenza di 11 semi nella struttura elementare dell’abaco, in netto contrasto con tale assunzione.
Un altro fatto importante riguarda la scoperta di altri due manoscritti che, grazie all' indagine e alla decrittazione effettuata da una studiosa napoletana (1996), Clara Miccinelli, e allo studio condotto da Laura Laurencich Minelli, docente di Storia e Civilta' Precolombiane dell' America all' Universita' di Bologna, hanno reso più agevole l'interpretazione dei "quipus" oltre a rivelare fatti inediti e sconcertanti sulla storia della conquista spagnola del Peru'.
Questi manoscritti sono: 
"Exsul Immeritus Blas Valera populo suo", datato Alcalà de Henares 10 maggio 1618 e scritto interamente dal gesuita esule, il meticcio P. Blas Valera, e "Historia et Rudimenta Linguae Piruanorum" composto fra il 1600 ca. e il 1638 dai gesuiti italiani F.Antonio Cumis e P. Anello Oliva, quest’ultimo noto come cronista la cui opera "Historia del Reino y Provincias del Perú" (1631) non ebbe però l’imprimatur della Compagnia.
Non mi addentro nell'analisi di questi manoscritti e dei risvolti gialli che hanno accompagnato tale scoperta lasciando alla curiosità del lettore la chiara visione che ne dà il libro di Clara  Miccinelli, "Quipu, il nodo parlante dei misteriosi Incas" e un'introduzione di Laura Laurencich Minelli e Giulio Magli, del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano, al "Calendario Quipu del secolo 17° e il suo rapporto con l'astronomia Inca".


Immagine di un Quipu

Mi limiterò qui a sottolineare come le yupane abbiano conservato il loro segreto intatto per quasi 5 secoli, dato che i conquistadores distrussero migliaia di queste tavolette di pietra e pochi sono stati gli esemplari a disposizione degli studiosi. 
Inizialmente classificate come “abaco degli inca” (yupani in lingua Quechua significa contare), le tavolette di pietra o terracotta compaiono sulle decorazioni di manufatti di argilla e in alcuni rari documenti, in particolare appunto nell’opera "Nueva corónica y buen gobierno" e solo recentemente si è capito come gli Incas facessero calcoli con le yupane registrandone il dato sui quipus che fungevano da sistemi di scrittura e lettura.


Immagine di un Quipu

Quanto all’uso delle yupane, si attribuiva loro una molteplicità di funzioni, come modelli architettonici, abachi di calcolo o persino scacchiere impiegate per il gioco d’azzardo e Charles Wiener (1877) sosteneva che servivano per calcolare i tributi che pagavano i contadini.
Il primo studioso a dare un'interpretazione scientifica della yupana fu Henry Wassen (1931) che sosteneva, erroneamente, che il calcolo si basasse sulla progressione 1, 5, 15 e 30. 
Con il trascorrere degli anni molti studiosi hanno tentato di scoprire questo mistero, poi svelato, quasi per gioco, dall’ingegnere aeronautico pescarese Nicolino De Pasquale. Bizzarra potrebbe altresì definirsi la vicenda che ha permesso a De Pasquale di rivelare questo segreto senza saper niente né di Incas, né del segreto stesso, né tanto meno dei vari tentativi di decifrare le misteriose yupane.
Pare infatti che a Natale del 2000, in modo del tutto casuale, Nicolino De Pasquale, ricevesse in regalo dal nipote un libro di enigmi matematici che conteneva la miniatura di Guaman Poma con la scacchiera misteriosa e ne risolvesse l'enigma in meno di mezz’ora dopo aver osservato che il numero di cerchietti riportati nel disegno ricordava qualcosa di molto celebre in matematica, la “serie di Fibonacci” costituita dalla sequenza dei numeri dati dalla somma dei due precedenti: 1, 2, 3, 5, 8, 13..... e così via. 
De Pasquale ottiene così un sistema di numerazione in base 40 che sottopone a matematici, informatici e ingegnere dell’Università di Teramo e de L’Aquila e infine a uno dei maggiori esperti italiano di culture precolombiane, Antonio Aimi, secondo il quale la scoperta svela appunto l’equivoco originale di aver attribuito agli Incas un sistema di numerazione a base decimale. 
In sostanza quindi la yupana è un abaco che utilizza un sistema di numerazione in base 40 con pietre, o semi, cui sono attribuiti valori 1, 2, 3, 5 e sommando un’unità, due coppie, 3 terne e 5 cinquine si ottiene 39 cui, se si aggiunge lo zero, dato dalla mancanza di semi, si arriva alle 40 combinazioni totali. 




Più bizzarro ancora, Nicolino De Pasquale, invitato nel 2006 a Cagliari dal Club Unesco, parlò della sua scoperta partendo dai fiori: 

"Il gigaro (Arum maculatum) ha un solo petalo, la menta due, tre la baldellia (Baldellia ranunculoides), cinque la malva (Malva silvestris), otto i fiori di campo, abbiamo sempre 1, 2, 3, 5, 8, 13, e così via. Lo stesso si osserva nel carapace delle tartarughe, nei gusci delle conchiglie, nella struttura delle galassie e dei buchi neri e, se i numeri della serie di Fibonacci sono quelli che descrivono meglio la natura, allora il sistema più adatto a rappresentarli è proprio quello ricavabile dalla matematica inca, introdotto per mezzo delle yupane".

Osservando vasi, yupane, ceramiche ed altre fonti storiche, De Pasquale elabora nuovi sistemi di rappresentazione grafica, dai piani cartesiani alle funzioni, dalla derivazione all'integrazione, che straordinariamente convergono con le più recenti teorie matematiche.
Inoltre, De Pasquale sostiene la superiorità della matematica inca rispetto a quella pitagorico-euclideo-cartesiana di stampo occidentale, dimostrando come, con un abaco in legno appositamente ricostruito, si ottenga una maggior rapidità di calcolo per le quattro operazioni, affermando anche la potenza delle mappe sferiche, quindi non cartesiane, che permetterebbero il calcolo visivo e immediato di limiti, derivate e integrali, applicazioni che nel nostro sistema richiedono procedure estremamente complesse.....ma questa è un'altra storia!

Torniamo al nostro Abaco Inca e vediamo in dettaglio "matematico" la struttura del sistema delle yupane¹ 

Come noto, scelta una base di rappresentazione ß, ogni numero naturale n si può scrivere nel modo seguente
Fig.2
con 0 ≤ αi < ß –1 dove gli αi sono quasi tutti nulli.
I numeri αi sono solitamente rappresentati con simboli diversi e indipendenti tra loro: nella notazione decimale usuale abbiamo le cifre 0, 1, 2, 3, ... , 9.
Ma l’aritmetica che sottende alla calcolatrice inca vuole invece che le cifre siano a loro volta rappresentate con una notazione posizionale e questa volta di tipo diverso. Ogni cifra αi infatti si scrive come
Fig.3
dove fj è un peso che viene assegnato alla cifra aj e dunque non è necessariamente potenza di una base fissata. Nel caso specifico si tratta di quattro termini consecutivi della successione di Fibonacci:
f1 = 1; f2 =2; f3 =3; f4 =5;
e il vincolo su aj è
0 ≤ aj ≤ fj

Nelle condizioni espresse, la formula (1) rappresenta tutti i numeri da 1 a 39 e, da un punto di vista concreto, consente l’interpretazione numerica della figura che si forma posizionando granellini di mais sulla tavoletta della figura seguente negli appositi spazi.
Fig.4

Ecco ad esempio due rappresentazioni del numero 4.
Fig.5
Fig.6

Si codificano in questo modo tutte le cifre αi.
Quindi, l’Abaco Inca opera con 2 sistemi di numerazione, uno “globale” per l’individuazione completa del numero da rappresentare, ed uno “locale” valido per la definizione dei singoli coefficienti. Il sistema globale é un classico sistema di tipo posizionale pesato, ha per base 40 ed è quindi sintetizzabile con la notazione:
Fig.7

dove:
  • N = numero di cifre utilizzate (coincidenti con il numero di righe);
  • i = generica posizione (corrispondente ad una riga);
  • Ci = singolo coefficiente (da 0 a 39).

A differenza degli altri sistemi classici, nell’Abaco Inca le 40 combinazioni per la definizione dei coefficienti non sono rappresentate da 40 simboli, bensì mediante un particolare sotto-sistema di numerazione a 4 settori, che possiamo definire “locale”, con pesi rispettivamente corrispondenti a unità, coppie, terne e cinquine secondo la successione di Fibonacci.
Secondo la forma canonica dell’Abaco, ogni unità può essere assunta una sola volta, ogni coppia al massimo 2 e analogamente ogni terna 3 e ogni cinquina 5. Nello schema è descritta questa struttura con il massimo coefficiente ottenibile (39=5×5+3×3+2×2+1).
Fig.8


Se si aggiunge lo zero, rappresentato dalla mancanza di semi, si ottengono le 40 combinazioni totali della base. Ogni riga rappresenta nell’abaco un coefficiente che, seguendo la notazione precedente, sarà poi moltiplicato per la relativa potenza della base 40 in relazione alla sua posizione.
Anche nel sotto-sistema non sono definiti i simboli, ma sono indicati i sotto-coefficienti attraverso la presenza o l’assenza di singoli semi.
La scrittura di un generico coefficiente (Ci) può essere schematizzata con la seguente notazione:
Ci = CI × 5 + TE × 3 + CO × 21 + UN × 10             (3)
dove:
CI = cinquine, TE = terne, CO = coppie, UN = unità.

Il passaggio successivo, per indicare un qualunque numero naturale, si effettua, poi, usando la base 40, cosa che, in concreto, porta alla forma bidimensionale della yupana schematizzata nella figura seguente. L’ultima colonna è stata qui aggiunta per segnalare il peso della riga ed è indicato tra parentesi il massimo numero rappresentabile in ogni casella.
Fig.9

Il valore di ogni singolo granello è rappresentato nella tabella che segue:
Fig.10

Si tratta dunque di una scrittura la cui notazione posizionale abituale si sviluppa in altezza e lo zero è semplicemente la mancanza di granelli sulla riga.

Fig.11

 Frammento ingrandito dell’immagine che permise a De Pasquale di risolvere l’enigma delle yupane


Non nascono ambiguità di interpretazione in quanto la scrittura si sviluppa sui piani scanditi nella tavoletta dall’alto (posizione a potenza maggiore) verso il basso e non su un foglio da sinistra verso destra dove diventa necessario indicare esplicitamente lo zero. Niente vieta, poi, di rappresentare le frazioni.
La semplicità cognitiva del sistema è stupefacente e la precisione di 4015 ottenuta con l’abaco a 15 righe raffigurato in alcuni vasi andini consentiva agli incas la rispettabile precisione di circa 25 cifre decimali.

Una delle caratteristiche del sistema delle yupane è che il sotto-sistema locale risulta notevolmente ridondante essendo possibile scrivere uno stesso numero in più modi differenti. Per esempio una cinquina può essere rappresentata anche come una terna più una coppia, oppure con due coppie più una unità.

Occorre tuttavia precisare che nell’abaco la ridondanza riguarda solo il sistema di numerazione locale di riga, mentre quello globale non presenta questa caratteristica e possiede proprietà del tutto simili al nostro decimale tranne che per il valore della base.
La ridondanza è una caratteristica fondamentale dell’abaco inca e, a prima vista, sembrerebbe costituire una notevole complicazione ritenuta fortemente negativa. In realtà vedremo che la ridondanza nella rappresentazione, insieme con la somiglianza di cui parleremo nel prossimo paragrafo, si traducono invece in una serie di concreti vantaggi.
È opportuno, tuttavia, chiarire che l’ipotesi secondo la quale gli inca abbiano creato un così particolare sistema di numerazione, basato sulla ridondanza (e sulla somiglianza) per semplificare i calcoli, è avvincente e anche in realtà persuasiva sotto molti punti di vista, ma va detto che la ridondanza nella rappresentazione potrebbe, in effetti, anche essere stata utilizzata con l’intento di aggiungere informazioni supplementari ai numeri, ossia potrebbe essere stato assegnato un significato diverso ad ogni granello anche nella stessa casella, significato non solo quantitativo, nel senso della cardinalità, ma anche legato ai fenomeni naturali. Non dimentichiamo che la struttura dell’abaco è intimamente connessa (con la serie di Fibonacci) con la struttura numerica di tali fenomeni.

Yupana in versione moderna realizzata in legno

Insieme alla ridondanza, l’altro principio che rende la matematica inca estremamente efficace è quello della somiglianza: potendo scrivere due numeri in più modi differenti (effetto della ridondanza), e sfruttando, poi, la somiglianza delle cifre ottenute, coinvolte nelle operazioni, è possibile semplificare notevolmente i calcoli. Chiariamo quanto detto con degli esempi.
In riferimento alla sottrazione, ad esempio, dal momento che possiamo scrivere uno stesso numero in più modi differenti, se scriviamo il minuendo in una forma che contenga lo stesso sottraendo al fine di “privare” proprio il sottraendo dal minuendo, otteniamo semplicemente il risultato per definizione. Supponiamo di effettuare la sottrazione (15 – 6) in figura:
Fig.12

Sfruttando la possibilità di scrivere il numero 15 in diversi modi, scegliamo quello che “contiene il numero 6 scritto nella stessa forma assegnata (in realtà possiamo, se necessario, modificare anche il sottraendo per maggiore flessibilità)”. L’operazione allora viene visualizzata come in figura 18 nella quale 2 cinquine del numero 15 sono sostituite da due terne e da due coppie. Una ellisse rossa circoscrive il sottraendo contenuto nel minuendo in modo da rendere corretta la sottrazione. “Ciò che resta” è, in sostanza, il minuendo privato del sottraendo, ossia il risultato 9. L’eccezionale valore del metodo si identifica nella possibilità di operare mediante la definizione invece che con l’uso della regola.
Fig.13

Sarà facilissimo insegnare a chiunque, anche un bambino, a eseguire correttamente l’operazione.
Proseguendo con la sottrazione, in caso di sottraendo maggiore del minuendo, cioè di risultato negativo, si fanno somigliare i due numeri ed il risultato è uguale esattamente al valore dei semi che mancano al minuendo per essere uguale al sottraendo, ovviamente con il segno negativo. La figura 14 descrive questo caso per l’operazione 9-16 (è stata omessa, per semplicità, la fase di somiglianza). Le ellissi rosse racchiudono i semi resi uguali e i cerchi blu i semi (di colore giallo) “prestati” al minuendo per ottenere l’uguaglianza visiva e corrispondenti quindi al risultato negativo (evidenziato in basso con i semi di colore giallo).
Fig.14
Questi metodi sono sicuramente intuitivi e conducono velocemente al risultato.
Messa a punto la sottrazione si potrebbe pensare di implementare la divisione con il metodo delle sottrazioni successive, ma è conveniente sfruttare ancora la ridondanza tramite la somiglianza. In primo luogo si rende il dividendo simile al divisore (o si modificano entrambi) in modo da massimizzare la somiglianza, si ottiene così il quoziente che è uguale al numero di volte che il divisore entra nel dividendo. Si tolgono infine tutti i semi del punto precedente ottenendo direttamente il resto della divisione. Questa non è altro che la definizione della divisione, ma nell’abaco inca si riesce a visualizzare proprio il concetto stesso di quoziente e di resto. In un utile esempio, le figure seguenti mostrano la divisione tra i numeri 45 e 19 che inizialmente sono scritti come nella figura 20. Ora le righe hanno effettivamente corrispondenza con l’esponente nella base 40 dato che un numero è maggiore di 39:
Fig.15

Attenendoci alla somiglianza si perviene alla situazione di figura 21. Il numero 45 (40+5) deve essere reso il più possibile simile al 19 invadendo le sue stesse caselle. Il seme di peso 401 viene tramutato in 39+1 e, dato che la massima capacità di una riga è uguale a 39, occorre riempire tutta la riga di peso 400 in senso canonico (5 cinquine, 3 terne, 2 coppie e una unità) e aggiungere una unità anche se deve essere superata la capacità massima delle caselle, in ogni caso sarà la normalizzazione a sistemare il risultato. Il 45 è scritto ora con 6 semi nelle cinquine (1 originario più 5 provenienti dal “trasloco” del 40), 3 terne, 2 coppie e 2 unità tutte provenienti dalla traslazione citata. Per maggiore chiarezza, nella figura 21 il dividendo ha i semi significativi di colore giallo, mentre il divisore di colore rosso. Contando ora il numero di volte che il divisore entra nel dividendo si ha il quoziente; le ellissi rosse evidenziano questa situazione dalla quale si ricava che il quoziente è 2. Scritto il quoziente, possono essere eliminati tutti i semi racchiusi nelle ellissi rosse e ciò che rimane non può che essere il resto della divisione (nella figura circoscritto da una ellisse di colore blu).
Fig.16
Infatti sono rimaste fuori dalle ellissi rosse 2 coppie e 1 terna sempre di peso 400 per cui il resto vale 7 come deve essere dal momento che 45 diviso 19 fa 2 col resto di 7. Volendo procedere con le cifre dopo la virgola, si continua la divisione passando il resto alla riga superiore. Il quoziente della divisione successiva si riferisce alla riga di peso 40-1; si continua così fino alla precisione voluta tenendo presente che i risultati ottenuti sono ovviamente in base 40 e che quindi il valore delle cifre quarantesimali tende molto rapidamente a essere trascurabile. Come si vede dalla figura 16, per applicare la somiglianza occorre talvolta superare la capacità massima delle caselle fermo restando la normalizzazione del risultato.
Nella divisione, come nella moltiplicazione, si può operare con le righe assolute considerando a parte l’esponente. In questo modo anche calcoli con numeri enormi risultano notevolmente semplificati. Nella divisione in particolare l’applicazione della proprietà distributiva permette ulteriori riduzioni di complessità. Negli esempi precedenti dividendo e divisore sono stati separati per chiarezza in abachi differenti, ma nelle operazioni manuali sperimentali l’uso di semi di colore diverso permette con un solo abaco di eseguire agevolmente tutte le operazioni sino al risultato finale. Applicando la somiglianza si semplificano talmente i calcoli che il rischio di commettere errori è praticamente nullo.


13.457 = 2x2x40°+3x40°+5x2x40°+3x2x40¹+5x2x40¹+1x40²+2x40²+5x40²
  
L’Abaco Inca si presenta come una realtà numerica straordinariamente diversa dal sistema decimale basato sulla fisiologica e istintiva possibilità di disporre di 10 dita per far di conto. Non deve sorprendere, perciò, se, per più di 400 anni dal primo contatto, la nostra civiltà ha interpretato l’Abaco Inca in base 10 nonostante evidenti incongruenze incompatibili con una simile asserzione (la presenza di 11 semi nella struttura elementare dell’abaco è in netto contrasto con tale assunzione).
E’ immediato intuire che la base 40 non sia adeguata alle naturali tendenze numeriche dell’uomo atavicamente portato a ragionare con il pratico ausilio del suo “abaco” nativo a 10 dita. Proprio questa caratteristica fisiologica ha prodotto una sorta di sottinteso postulato numerico istintivo secondo il quale uno strumento di calcolo dovrebbe inevitabilmente operare in base 10. Ci si è perciò domandati quali fossero le motivazioni per le quali gli inca erano stati indotti ad utilizzare un sistema di numerazione marcatamente “non fisiologico” per eseguire i conti.
Alla luce delle considerazioni fatte nei paragrafi precedenti, però, sui motivi per i quali gli Inca hanno utilizzato la yupana, come strumento di calcolo, con una base diversa da quella decimale, si può concretamente supporre che quella civiltà abbia fatto una scelta precisa e ragionata, giustificata dall’esistenza di concreti vantaggi in sede computazionale. Gli Inca, cioè, ricorsero a questo particolare sistema di numerazione ridondante e intrinsecamente “somigliante” proprio perché in questo modo ottennero uno strumento di calcolo il più possibile semplice, preciso e infallibile. Fu perciò una scelta di pura convenienza operativa, giustificata dai vantaggi dell’uso di questo sistema, in apparenza complesso e illogico, ma nei fatti capace di semplificare in misura incredibile tutte le operazioni aritmetiche.
I risultati dei calcoli, invece, erano memorizzati nei quipus, in base decimale, secondo una evidente esigenza di praticità “fisiologica”. 


Steve Jobs così lo definiva: Yupana + Quipu = Tablet Inca

Come si legge qui, nel 2008 Cinzia Florio propose un approccio alternativo all'interpretazione di De Pascale che per la prima volta si discosta dal sistema di numerazione posizionale, adottando quello additivo.
Basandosi esclusivamente sul disegno di Poma de Ayala, l'autrice spiega la disposizione dei cerchi bianchi e neri e interpreta l'uso dell'abaco come una tavola moltiplicatrice². 
A gennaio 2014, lo scrittore e professore universitario Subhash-Kak ha pubblicato una propria teoria sulla Yupana di Poma de Ayala, basata su un sistema di numerazione posizionale, non uniforme, in base 144.
Questa teoria lascia forse spazio a numerose critiche (tra cui quella della stessa Cinzia Florio), anche se resta interessante l'approccio matematico utilizzato dall'autore per definire la progressione dei valori delle caselle sulla yupana.
Voglio allegare quindi un link per poter scaricare un semplice programma Tk-Yupana scritto in tcl/tk che emula il funzionamento dell'abaco incaico secondo le  7 più accreditate teorie e che il 24 Aprile 2013, è stato usato proprio da Cinzia Florio per presentare la propria teoria sulla Yupana alla V Edizione del Premio Leonardo indetto dalla Associazione Croce del Sud.


Tk-Yupana - Teoria di C. Florio 


Concludendo forse dobbiamo dire che l'interpretazione della "strana" matematica degli Incas non è  giunta alla fine e costituisce ancora un vero mistero?
E che dire dell'affascinante utilizzo di corde e nodi dei loro quipus, quel complesso sistema di cordicelle e nodi legate ad una corda centrale? 
Ancora oggi i quipus non sono stati del tutto decifrati ma c’è chi, come l’antropologo Gary Urton, crede che i quipus siano un vero e proprio sistema di comunicazione a base binaria, in grado di archiviare informazioni, gestire calcoli complessi e memorizzare anche testi letterari.
Quindi, i quipus degli Incas rappresenterebbero un sistema di scrittura e di comunicazione tridimensionale, costituito di corde, nodi e colori assemblati secondo un codice ben prestabilito, ma ancora da decrifrare.
E possiamo chiederci: nel tecnopassato i nodi delle corde sono stati l’equivalente del bit dei nostri computer?


Note
¹ Struttura del sistema di calcolo delle yupane dal sito di Nicolino De Pasquale
² Si legga anche un articolo di Cinzia Florio "Recuperare la memoria: la llave inca come yanantin"

Fonti
From the book
Nueva Corónica y Buen Gobierno - Felipe Guaman Poma de Ayala
http://www.kb.dk/permalink/2006/poma/info/es/frontpage.htm
Quipu, il nodo parlante dei misteriosi Incas - Clara Miccinelli
From website
Nicolino De Pasquale - http://www.quipus.it/home.htm
A calendar Quipu of the early 17th century and its relationship with the Inca astronomy
Laura Laurencich Minelli - Dipartimento di Paleografia e Medievistica, Università di Bologna 
Giulio Magli - Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano 
http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0801/0801.1577.pdf
http://amsacta.unibo.it/2350/5/Introduzione.pdf
La vera storia degli Incas
https://sites.google.com/site/americalascoperta/alcuni-misteri
https://it.wikipedia.org
From the pictures
http://www.quipus.it
https://it.wikipedia.org


1 commento:

  1. interessante chi sa se esiste un codice per la scienza della numerologia?

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