domenica 21 dicembre 2014

Auguri matematici Natale 2014

Per questo Natale non potevano mancare gli 
Auguri Matematici!!!!!!

Mi sono divertita a creare un cartoncino di Auguri con semplici funzioni matematiche (rette, sinusoidi e alcune circonferenze) per augurare a tutti un Buon Natale 2014.





Questa è la pagina in cui potete vedere come si forma il mio  "cartoncino di Auguri".......ma potete sbizzarrirvi e  crearne tanti altri in questa pagina vuota !!!!!


Carnevale della Matematica #81 - Anticipazioni

Riprendo il post di Leonardo Petrillo per dare un'anticipazione del prossimo Carnevale della Matematica, l'81°, che uscirà il 14 gennaio su Scienza e Musica

CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.81 - 1ª CALL FOR PAPERS

Dopo l'originalissima edizione n.80 del Carnevale della Matematica (chi ancora non l'avesse letta, lo faccia subito cliccando qui), ospitata da Dioniso Dionisi sul blog Pitagora e dintorni, col tema "Matematica e irrazionalità", è il momento di iniziare a pensare anche all'edizione successiva.
Ebbene, l'edizione n.81 del Carnevale della Matematica sarà ospitata, su Scienza e Musica, il 14 gennaio 2015.


Quella che state leggendo è appunto la prima call for papers, ovvero "la chiamata alle tastiere" per coloro che desiderino prenderne parte. 
Come consueto per i Carnevali ospitati su questo blog, la scelta della tematica portante dell'edizione è ricaduta su un tema (non vincolante) ad ampissimo respiro: "Storia, Personaggi e Applicazioni dell'Analisi Matematica".
Di primo acchito potrebbe sembrare un tema destinato solo a una trattazione matematica di livello avanzato, ma si presta benissimo a diversi livelli di divulgazione della disciplina.

Infatti le diciture "Storia" e "Personaggi" lasciano trasparire l'esortazione a parlare di vicende interessanti legate a questa branca della matematica o a personaggi significativi che hanno fornito contributi alla suddetta, non necessariamente affrontando la trattazione tecnica dei concetti matematici da costoro introdotti.
Si potrebbe (giusto per dare un esempio) parlare del rapporto di Newton con l'alchimia e si rientrerebbe comunque nel tema, essendo Newton uno dei pionieri dello sviluppo dell'analisi matematica!




Oltre a ciò, con il termine "Applicazioni" si è voluto dare spazio alla possibilità di parlare dell'utilità della suddetta branca della matematica ("terrore" degli studenti di liceo scientifico del V anno), anche in contesti differenti dalla "matematica pura", come ad esempio la fisica, la chimica, l'ingegneria, la medicina, la biologia (si potrebbe illustrare per esempio come lo scorrere del sangue nell'organismo venga spiegato attraverso modelli matematici), ecc.


Risultano graditissime anche forme di contributo differenti dal "classico" articolo (per esempio racconti immaginari che abbiano comunque a che fare con la tematica prescelta o con la matematica in generale).
Qualora la tematica prescelta non fosse di vostro gradimento, come sempre i contributi fuori tema sono ben accolti e anzi servono per rendere maggiormente variegato il Carnevale stesso (auspicando che non siano tutti quanti fuori tema!).
Quello che dovete fare è elaborare, sui vostri blog, dei contributi originali relativi al tema dell'edizione, o alla matematica in generale, e inviarli al sottoscritto, entro il 12 gennaio (tutto compreso), all'indirizzo email che segue: leonardo92.universo@gmail.com

Al Carnevale della Matematica può partecipare chiunque, dal semplice appassionato all'esperto

Appuntamento al 14 gennaio, su Scienza e Musica, per una full immersion nei meravigliosi meandri del calcolo infinitesimale, della sua storia e delle sue applicazioni (e non solo!).
Attendo i vostri contributi!
Per maggiori informazioni sull'evento Carnevale della Matematica potete guardare qui.

Leonardo Petrillo 

sabato 13 dicembre 2014

L'eresia di Ippaso a teatro

"Una morte misteriosa, un presunto naufragio...così scomparve Ippaso, colpevole di aver scalfito la perfetta razionalità del sistema pitagorico."


Maria Eugenia D’Aquino e Annig Raimondi

Da questo "giallo", una probabile congiura ordita dai pitagorici per eliminare Ippaso, prende spunto la pièce teatrale, "L'irrazionale leggerezza dei numeri" ¹, piacevole, leggera ma nello stesso tempo rigorosa.


Riccardo Magherini  e Vladimir Todisco Grande 

I personaggi che si alternano sul palcoscenico, in cui è stata ricreata un'enorme gabbia a indicare la mancanza di libertà, sono:
  • i discepoli di Pitagora, che dialogano dissertando su triangoli e teoremi 
  • un personaggio moderno che con l'ausilio di slides commenta, con rigore matematico, alternandosi ai dialoghi 
  • un "uccello parlante", reincarnazione di Ippaso.
Il tutto si svolge intervallato da una suite di dieci danze (musiche originali di Maurizio Pisati, "Le cinque morti di Pitagora") che, con note in sequenza matematica, diventano a loro volta protagoniste della scena, come protagonista era anche, nella scuola pitagorica, la musica.

Ippaso, forse il più brillante fra i discepoli del grande Pitagora, costretto a parlare in sembianze di "uccello"!? 
Ma come è morto Ippaso da Metaponto? Chi lo ha ucciso e perché? A distanza di 25 secoli questo giallo è ancora irrisolto. 
Seguendo i dialoghi dei discepoli non ci viene poi tanto difficile immaginare Ippaso mentre ascoltava proprio il grande "assente", Pitagora, e disquisire, argomentare, confutare e dimostrare in contrapposizione al Maestro.


Ippaso da Metaponto
La provenienza da Metaponto, che gli viene generalmente 
attribuita, non è affatto certa. 
Giamblico lo dice di Metaponto o di Crotone, mentre 
nel catalogo dei pitagorici lo elenca tra quelli di Sibari. 

Ippaso, considerato da Giamblico la personalità più rilevante della scuola pitagorica antica dopo il fondatore, parla in sembianze di uccello (quasi a ricordare un volo Pindarico?) perché vittima della sua scoperta.
Ma quale scoperta? La scoperta dell'esistenza di grandezze incommensurabili che scalfiva la perfetta razionalità del sistema pitagorico e che Ippaso, trasgredendo alle rigide regole della scuola, ebbe anche l'ardire di divulgare. 
Per la Scuola Pitagorica, tutto era numero. 
Il mondo e la sua armonia erano basati sui numeri interi e sui loro rapporti. I rapporti fra numeri interi davano origine ai numeri “razionali” e su di essi i pitagorici avevano costruito un edificio coerente per l’interpretazione del mondo. 
Ma?! 
Ma proprio come conseguenza del teorema di Pitagora, che Ippaso applicò ad un triangolo rettangolo isoscele, improvvisamente l’edificio, così faticosamente costruito, subì una scossa paragonabile ad un tremendo terremoto.
Sembra quasi di sentire le voci spaventate dei discepoli:

“C’è una voragine, c’è un buco nero! E'un terremoto! Trema tutto e la terra inizia a sprofondare sotto ai piedi.
Non è possibile! Ma si, Maestro, è proprio qui che il Numero non tiene! Qui, nel rapporto fra il lato e la diagonale del quadrato! Non è un numero razionale positivo, definibile. Insomma, non si può misurare!
Eretico! Sacrilego! Indegno! A morte!"




Come p
rima conseguenza della scoperta, i Pitagorici² 
furono costretti ad ammettere che il punto non ha dimensioni, contrariamente a quanto avevano sempre creduto e affermato dato che essi ritenevano che i punti avessero una dimensione, fossero molto piccoli e tutti uguali, ma non nulli. Ora invece risultava evidente che un segmento e in generale una figura geometrica sono costituiti da infiniti punti di dimensione nulla. Infatti, nel caso in cui un segmento fosse costituito da un numero finito di punti, ne risulterebbe, ad esempio, che il lato del quadrato conterrebbe un numero intero di punti, e corrisponderebbe quindi ad n volte la dimensione di un punto. La diagonale, a sua volta, sarebbe m volte la dimensione del punto.
Il lato e la diagonale avrebbero quindi un sottomultiplo comune, il punto, e non sarebbero perciò incommensurabili, come invece era risultato evidente. E' proprio la loro incommensurabilità a richiedere che un segmento sia costituito da un numero infinito di punti. 
La figura aiuta a capire perché la diagonale, proiettata sulla retta numerica, ha una distanza dall'origine rappresentata da un numero che per i pitagorici non aveva diritto di esistere, con infinite cifre dopo la virgola.
Per loro, sulla retta numerica c'erano soltanto numeri interi e frazioni, a ciascuno dei quali corrispondeva un punto. In questo modo, invece, si doveva ammettere che il segmento della retta compreso tra 1 e 2 fosse costituito da infiniti punti.

Ippaso aveva osato trasgredire ad una delle regole fondamentali della scuola pitagorica, divulgando all’esterno la scoperta dei numeri irrazionali e mettendo così in crisi le basi su cui la scuola si fondava. Fu così che per il suo tradimento, Ippaso venne messo al bando dai pitagorici che, si racconta, gli innalzarono un monumento funebre, perché fosse chiaro che per loro era morto. 
Si narra anche, ma è sempre leggenda, che lo stesso Giove, adirato contro di lui, l'abbia fatto perire in un naufragio. 
Come scrive, a questo proposito, il filosofo greco Proclo (412 - 485 d. C.):
 
"I pitagorici narrano che il primo divulgatore di questa teoria [degli irrazionali] fu vittima di un naufragio; e parimenti si riferivano alla credenza secondo la quale tutto ciò che è irrazionale, completamente inesprimibile e informe, ama rimanere nascosto; e se qualche anima si rivolge ad un tale aspetto della vita, rendendolo accessibile e manifesto, viene trasportata nel mare delle origini, ed ivi flagellata dalle onde senza pace".

La bella pièce teatrale fa parte, come si legge nella presentazione,  del progetto TεatroinMatεmatica,  nato a Milano nel 2002 da una felice intuizione di Maria Eugenia D’Aquino, che, con la regista Valentina Colorni, il drammaturgo Riccardo Mini e il prof. Alberto Colorni, ha dato il via a un’originale iniziativa, suscitando l’interesse di un folto pubblico (più di 20.000 spettatori l’anno) e di illustri esponenti del mondo scientifico. 
In scena la Matematica perde la dimensione di scienza austera e accessibile solo a pochi iniziati e diventa materia esplorabile e comprensibile a tutti, lasciando affiorare la bellezza e il fascino che le sono propri.
Elementi centrali del progetto sono la creazione e la diffusione di spettacoli, incontri, workshop, pubblicazioni, focalizzati sull’esplorazione di argomenti scientifici, e sulla loro rivelazione attraverso diversi linguaggi teatrali, che ne scardinino l’apparente inacessibilità e mettano in risalto le applicazioni alla vita di tutti i giorni delle grandi e piccole scoperte. 
Il carattere innovativo del progetto, l’unico in Italia ad avere tali caratteristiche, è l’invenzione di un nuovo strumento di comunicazione per rendere ‘vivente’ e visibile l’approccio scientifico all’interpretazione della realtà, e/o, per dirla con Calvino, per "scoprire un nuovo rapporto fra la fantomatica leggerezza delle idee e la pesantezza del mondo".


Le 5 morti di Pitagora, musica di Maurizio Pisati 
per L'irrazionale leggerezza dei numeri 


Note

nota¹ 
"L'irrazionale leggerezza dei numeri
con Maria Eugenia D’Aquino, Riccardo Magherini, Annig Raimondi, Vladimir Todisco Grande
drammaturgia a cura di Riccardo Mini
regia di Valentina Colorni
musiche originali di Maurizio Pisati - Le cinque morti di Pitagora - suite di dieci danze
consulenza  matematica  del Prof. Franco Pastrone del Dipartimento di Matematica dell' Università di Torino
collaborazione di Daniele Gouthier
produzione PACTA . dei Teatri - Scienza In Scena

nota²
Dei Pitagorici ci parla Flavio Ubaldini nel libro "Il mistero del suono senza numero


venerdì 5 dicembre 2014

Il prezioso gioiello irrazionale

Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile a segnare, nè per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale” (Luca Pacioli - 1445-1517)



"Matematica e Irrazionalità", tema del prossimo appuntamento con il Carnevale n°80, ospitato dalle parti di "Pitagora e dintorni", quale spunto avrebbe potuto mai suggerirmi?
Se uniamo anche il fatto che  lo stesso Flavio Ubaldini ricordava che questo Carnevale avrebbe avuto anche una sua melodia, sibillinamente commentando "sarà razionale o sarà irrazionale?"
Beh non avrebbe potuto che essere uno dei numeri irrazionali più affascinante, il "Φ".
L'irrazionalità e la melodia non potrebbero meglio compenetrarsi se non in questo "numero d'oro", in questo "numero magico", in questo "golden ratio" che è veramente unico nelle sue proprietà matematiche e che pervade soprattutto l'arte, l'architettura e il design, la musica, la finanza........tutta la natura stessa.
Ciò che rende Φ molto più di un interessante numero irrazionale è che appare davvero in tutta la natura.
Si trova nelle proporzioni  del viso e del corpo umano e di quello di molti altri animali , nella struttura delle piante, nel sistema solare.....nei rapporti musicali e nelle dimensioni degli strumenti, nei rapporti architettonici e pittorici......fino ad arrivare anche alle variazioni di prezzo e tempi dei mercati azionari o persino alla fede e ai luoghi sacri.
Il suo interesse non riguarda solo quindi i matematici, ma spazia dai naturalisti, ai medici, agli astronomi, ai pittori, agli architetti, ai musicisti.......fino agli investitori e ai mistici.

Cosa ci dice la Storia?

Cerchiamo di scoprire, prima delle sue proprietà matematiche, la sua origine e la sua storia iniziata 5000 anni fa.
Le prime applicazioni del rapporto aureo, risalgono agli antichi Egizi, anche se non ne è stata ritrovata una precisa definizione. 
Nella stele del re Get, proveniente da Abido (antica capitale dell’ Egitto nel periodo predinastico) conservata oggi al Louvre, si osserva al centro un rettangolo aureo, nella cui parte bassa il quadrato costruito sul lato più corto, sezione aurea di quello più lungo, contiene la città mentre nella parte rimanente, che è ancora un rettangolo aureo, è riportato il serpente simbolo del re.
Il reperto risalirebbe alla prima dinastia, quindi a quasi 5000 anni fa. Altri studi dimostrano che la sezione aurea fu anche applicata nella costruzione delle piramidi.



Ma furono i Greci, 3000 anni fa, a introdurre per primi il concetto di "sezione del segmento in media ed estrema ragione", terminologia originaria che fu in seguito abbreviata nel solo termine sezione, "sezione aurea"
Il concetto di "proporzione" nacque infatti nel contesto della dottrina pitagorica, introdotta in Grecia appunto da Pitagora di Samo, agli albori della filosofia occidentale, quando la visione mitologica si andava trasformando attraverso l’interpretazione razionale nella ricerca del principio unico e universale, l'origine del tutto.
Soprattutto dallo studio delle leggi numeriche che regolavano l’armonia musicale la scuola pitagorica scoprì alcuni principi morfologici di carattere generale, che divennero presto i principi compositivi di ogni tipo di arte, soprattutto quella che si occupava della costruzione degli edifici sacri.


Gli antichi architetti dovevano infatti realizzare, il cosiddetto “accordo delle misure”, vale a dire la ricerca di simmetrie mediante il ripetersi di certi rapporti proporzionali privilegiati e l’"Eurytmia", cioè l'armonia tra le lunghezze, le superfici e i volumi dell’edificio, sia nel complesso che nelle sue singole parti. Mediante quindi una tecnica compositiva di tracciati regolatori e di raffinate costruzioni geometriche e partendo dalla forma iniziale, un quadrato, erano così in grado di individuare, con semplici proiezioni e ribaltamenti, tutte le linee principali dell’edificio.
Gli architetti e gli artisti greci facevano appunto grande uso dei rettangoli aurei che erano usati per disegnare la pianta del pavimento e della facciata dei templi, come ad esempio il Partenone.
Il Partenone fu costruito tra il 447 e il 438 a.C. su progetto di Ictinio e Callicrate ed adornato dalle sculture di Fidia. Proprio dalla lettera iniziale del grande scultore, nel XX secolo, il matematico americano Mark Barr ha introdotto, Φ (phi) per indicare il rapporto aureo.

Fra Luca Pacioli e Piero della Francesca

Ma il vero trionfo della sezione aurea nell’ arte si ebbe nel Rinascimento quando rappresentò per tutti gli artisti di quel periodo un canone di bellezza cui ispirasi.
Tra questi artisti e matematici spiccano:

Anche se indagini effettuate con diagrammi e rigorose riproduzioni hanno messo in evidenza che questa "Divina Proporzione" sia stata la regola che dominava la connessione di tutte le parti di molte sue costruzioni, Leon Battista Alberti non parlò mai, nei suoi trattati, del tipo di proporzionamento utilizzato.
Il Tempio Malatestiano a Rimini è comunque un significativo esempio del "metodo segreto" con cui l'Alberti riusciva ad ottenere quell’armonioso equilibrio.



Per tutto il Rinascimento quindi il Φ rappresentò un canone di bellezza a cui ispirasi per ogni composizione artistica, dall’architettura, alla scultura, alla pittura di cui ne sono un esempio i dipinti di Piero della Francesca o di Leonardo da Vinci.


La Flagellazione di Piero della Francesca

L'ultima cena di Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci ne fece il pilastro della sua imponente produzione e collaborò, con perfette tavole e bellissimi disegni, alla stesura dell'opera di Luca Pacioli di cui era amico dai tempi della loro collaborazione milanese al servizio di Ludovico Sforza.
Da una parte l’ interesse prevalente di Leonardo era l’ estetica e la sezione aurea soddisfaceva entrambi i punti di vista, matematico ed artistico, dall'altra nessun altro matematico ha più potuto vantare una collaborazione più eccellente.
Fu quindi proprio l’opera di Luca Pacioli, “La Divina Proportione”, stampata e diffusa in tutta Europa, a diffondere questa concezione incentrata proprio sulla proporzione come chiave universale per penetrare i segreti della bellezza ma anche della natura.
Nel trattato si trova un pò di tutto. Nel Rinascimento infatti non vigeva ancora la specializzazione moderna del sapere e un uomo colto trattava indifferentemente  astronomia, filosofia, prospettiva, pittura, musica, architettura e matematica, anche se poi inevitabilmente finiva con l’ eccellere solo in alcune. 
L’ opera di Pacioli,  Divina Proportione”,  fu pubblicata a Venezia nel 1509 in tre volumi e, con la precedente “Summa de arithmetica, geometria, proportioni et propotionalità”, un sommario della matematica di quel tempo, insieme ad una traduzione in latino degli Elementi di Euclide, contribuì alla rinascita della Scienza in Europa attraverso la riscoperta di Euclide ed Archimede con i loro metodi logico-deduttivi.
L’ ammirazione che il Pacioli aveva per questa costruzione era tale da indurlo a metterla in relazione con la Divinità, come la quale è una e trina: "Tra tutte le possibili proporzioni, quella aurea sembra essere la vera ispiratrice della bellezza, quindi del creato, quindi del Suo creatore, quindi Divina"

Fra Luca Pacioli consegna il manoscritto "Divina Proportione" a Ludovico Sforza
.

Nel Rinascimento riemerge la convinzione che l’architetto non sia in nessun modo libero di applicare all’edificio uno schema casuale di rapporti, ma che tali rapporti debbano invece conciliarsi con un sistema di ordine superiore, in cui le proporzioni riescano ad esprimere l’ordine cosmico.

Altre applicazioni del Golden Ratio in architettura possono essere viste in Notre Dame a Parigi, nel Duomo di Milano, nell' edificio sede delle Nazioni Unite a New York o nella CN Tower di Toronto e nel Modulor di Le Corbusier
"Le Modulor" è un sistema, basato sulle misure umane, la doppia unità, la sequenza di Fibonacci e la sezione aurea, e fu introdotto da Le Corbusier ("Le Modulor" nel 1948, seguito da "Le Modulor 2" nel 1955) che lo usò nella progettazione di molti edifici per migliorare sia l'estetica che la funzionalità dell'architettura. 
La "Divina Proporzione" è comunemente usata nella progettazione di prodotti e loghi di molte grandi aziende o nel design di alta moda, come nella "Phi Collection" prodotta dal 2004 da Vogue, Elle e Vanity Fair. 





Cosa ci dice la natura?

Ci sono molte altre affascinanti relazioni matematiche e stranezze sia di Φ che della serie di Fibonacci che andrebbero esplorate in modo più approfondito, ma per ora diamo una breve occhiata avventurandoci nella natura, dove appunto sia Φ che  la serie di Fibonacci si manifestano pervasivamente. 
I numeri di Fibonacci appaiono spesso nel numero dei petali in un fiore, nelle posizioni e nelle proporzioni delle dimensioni chiave di molti, se non la maggior parte, degli animali. Alcuni esempi sono le sezioni del corpo di formiche e altri insetti, le spirali di conchiglie di mare e la posizione delle pinne dorsali delle focene. Persino le spirali del DNA umano incarnano proporzioni Φ.



Cosa ci dice la percezione della bellezza?

Più interessante ancora è l'ampio aspetto di Φ in tutta la forma umana, il viso, il corpo, le dita, i denti...... e l'impatto che questo ha sulla nostra percezione di umana bellezza. Alcuni potrebbero sostenere che la bellezza è negli occhi di chi guarda, ma si potrebbe anche dimostrare che ciò che percepiamo come bellezza delle donne e degli uomini si basi su un rapporto di proporzioni tra viso e corpo strettamente legato Φ. Sembra infatti che Φ sia l'hard-wired nella nostra coscienza come guida alla bellezza. 
Per questo motivo, Φ viene applicato sia in chirurgia plastica facciale sia in odontoiatria estetica come guida per ottenere i risultati più naturali e armoniosi delle caratteristiche facciali e corporee.
Se moltiplichiamo per  Φ (1,618.....) la distanza che, in una persona adulta, va dai piedi all'ombelico, otteniamo la sua statura. Così la distanza dal gomito alla mano (con le dita tese) moltiplicata per Φ, da la lunghezza totale del braccio o come la distanza che va dal ginocchio all'anca, moltiplicata per Φ, dà la lunghezza della gamba, dall'anca al malleolo. Anche nella mano i rapporti tra le falangi delle dita medio e anulare sono aurei, così come il volto umano è tutto scomponibile in una griglia i cui rettangoli hanno i lati in rapporto aureo.




Sono stati condotti diversi studi per dimostrare se un rettangolo aureo sia il rettangolo più piacevole per l'occhio umano e i risultati degli studi generalmente indicano che le forme più vicine al rettangolo aureo siano effettivamente le più gradevoli.
Già nel 1875 lo psicologo tedesco Fechner sottopose a più persone un insieme di rettangoli, chiedendo poi di indicare quale rettangolo avesse destato in loro una maggiore sensazione di armonia.



Grafico della distribuzione percentuale delle preferenze registrate
da Fechner.

L’esperienza di Fechner sanzionava quindi un’opinione largamente diffusa tra pittori, architetti e matematici secondo cui dall’osservazione del rettangolo aureo si trae un senso di equilibrata armonia.
Senza dimenticare l'armonia nella musica. La stessa musica ha fatto spesso uso della sequenza di Fibonacci, come nelle fughe di Bach, nelle sonate di Mozart, o nelle “33 variazioni sopra un valzer di Dabelli”, in cui Beethoven suddivise la sua composizione in parti corrispondenti ai numeri di Fibonacci. 
Insomma, il rapporto Φ (1.618...) o il suo inverso (0.618...)  sono simbolo dell’armonia delle costruzioni dell’uomo e la sequenza da cui deriva può regalare assonanze e melodie sublimi.

Cosa ci dice la Matematica?




Il primo incontro con la "Divina Proportione" in genere avviene in Geometria. 
Trattasi infatti della proposizione 11 del libro II degli Elementi di Euclide che recita così:  "Come dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l’ intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore”, ovvero come trovare la Sezione Aurea di un segmento, cioè la parte media proporzionale tra l’ intero segmento e la parte rimanente.
Queste le due classiche dimostrazioni:



AD : AB = AB : AE   

(AD-AB) : AB = (AB – AE) : AE

AS : AB = SB : AS 

AB : AS = AS : SB


AS : DB = CA : BS 
AS : AB = AB : (AS – AB)

Ma tante altre sono le caratteristiche della Sezione Aurea , sempre geometriche, e una delle più importanti è la seguente: “Se in un triangolo isoscele la base è la sezione aurea del lato allora l’ angolo al vertice è un quinto dell’ angolo piatto, ovvero la base è il lato del decagono regolare inscritto nel cerchio che ha per raggio il lato



Dal declino del periodo ellenistico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente a stuzzicare le menti dei matematici, che ne rilevarono proprietà di natura algebrica, prima inconoscibili per via meramente geometrica.
Il valore algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi) che esprime la "sezione aurea" (0,618034) o il "numero aureo" (1,618034), è un numero irrazionale (cioè non rappresentabile come frazione di numeri interi). 


In un diagramma cartesiano una retta rappresenta una crescita lineare, cioè una crescita nella quale l’ incremento si ottiene “sommando” a quanto raggiunto sempre la stessa quantità.
Una crescita invece in cui l’ incremento si ottiene moltiplicando quanto raggiunto per una
quantità a questo proporzionale si dice quadratica ed è rappresentato da una parabola 
I due diagrammi si incontrano in un punto che determina con gli assi cartesiani un rettangolo aureo, quasi a significare l’ equilibri tra una crescita lineare ed una crescita quadratica.



Ma Φ può essere approssimato, con crescente precisione, anche dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato.



Leonardo Pisano, noto anche con il nome di Fibonacci, visse tra il XII il XIII secolo e fu uno dei più grandi matematici del Medioevo.
Nel "Liber Abaci" ("Il Libro dell’Abaco") Fibonacci espone i fondamenti di algebra e matematica usati nei paesi arabi.
La risoluzione di un problema gli fornì l’occasione per l’introduzione della successione (di Fibonacci) che ha uno strettissimo legame appunto con il Numero Aureo. 
E' una successione  di numeri interi positivi, definita per ricorrenza, in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione F1=1 F2=1. Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente regola:
F1=1
F2=1
Fn=F{n-1}+F{n-2}

Foglio del manoscritto su pergamena del Liber abbaci conservato nella Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze  contenente nel riquadro a destra le prime tredici cifre, in numeri arabi, della cosiddetta "successione di Fibonacci"

Analizziamone alcune proprietà¹:

Il rapporto \frac{F_n}{F_{n-1}}, per n tendente all'infinito, tende al numero algebrico irrazionale \phi chiamato sezione aurea o numero di Fidia
In termini matematici:
\lim_{n \to \infty}{F_n \over F_{n-1}}=\,\phi
dove
\,\phi={1+\sqrt 5 \over 2}=1,6180339887\dots
Naturalmente il rapporto tra un numero di Fibonacci e il suo successivo tende al reciproco della sezione aurea 
\frac{1}{\phi} = 0,6180339887....
Per \phi valgono le seguenti relazioni:
a) \phi - 1 = \frac{1}{\phi}= {-1+\sqrt 5 \over 2},
b) 1 - \phi = -\frac{1}{\phi} = {1-\sqrt 5 \over 2}.
Si ha che l'n-esimo numero di Fibonacci si può esprimere con la formula:
         




Cosa ci dicono le nuove scoperte?

La Golden Ratio continua ad aprire nuove porte nella nostra comprensione della vita e dell'universo. E' apparsa nella scoperta di Roger Penrose nel 1974 la "Penrose Tiles",  (Tassellatura di Penrose), che è formata da due tasselli che possono ricoprire un piano solo aperiodicamente, ed è apparsa di nuovo nel 1984 nella disposizione molecolare tridimensionale degli atomi dei quasi-cristalli. 
Mentre entriamo nel 21° secolo,  il numero aureo Φ sembra avere una rinascita per integrare la conoscenza in una vasta gamma di campi di studio, tra cui il tempo e la fisica quantistica.
Questo prezioso "gioiello irrazionale" sembra sempre più indicare l’armonia nell’universo macro e micro. 
Esiste uno stretto collegamento tra matematica frattale, numeri di Fibonacci e Φ e tutto sembra funzionare secondo questi parametri. La fisica quantistica ci dice che alla base della materia esiste un nucleo di energia sottile che vibra a frequenza specifica ed esso è detto stringa. La sua frequenza di vibrazione determina la modalità di aggregazione della materia a costituire una forma ed esiste quindi una relazione tra frattali, serie di Fibonacci e stringhe. Esistono connessioni tra la serie numerica di Fibonacci e i numeri delle dimensioni spazio temporali delle stringhe e questi numeri sono il doppio dei numeri di Fibonacci D = 2F.
Sempre più quindi le nuove scoperte sembrano essere in relazione con Φ, con questo "numero d'oro" o "numero magico",  insomma con questo "gioiello irrazionale" che insieme alla successione di Fibonacci sembra davvero guidare l'armonia dell'universo.


Rappresentazione bidimensionale dello Spazio-Tempo


Nota¹ Altre proprietà matematiche della Successione di Fibonacci qui

Fonti:
From the book:  
I numeri magici di Fibonacci di Keith Devlin 
The Golden Ratio di Livio Mario
From website: 
https://archive.org/details/divinaproportion00paci (manoscritto di Luca Pacioli)
http://www.goldennumber.net/
http://www.mathsisfun.com/numbers/golden-ratio.html