giovedì 7 luglio 2016

A spasso per Milano con 4 donne illustri

Spesso pur vivendo da anni in una città facciamo poco caso al nome delle vie o meglio a chi sono dedicate.
Quello che salta agli occhi, passeggiando per le via della propria città è che le strade intitolate alle donne sono quasi inesistenti.
Sia al Nord che al Sud il risultato non cambia.
Secondo i dati di "Toponomastica femminile", il progetto nazionale che vuole rendere "più rosa" le città italiane, le strade dedicate all'universo femminile in Italia sono il 5 per cento, e a Milano il dato non arriva nemmeno al 3, dato che su 4.241 vie quelle intitolate agli uomini sono 2535 mentre alle donne sono solo 133.
Ricordando anche che ben 20 sono destinate alla Madonna nelle sue varie accezioni (Santa Maria Nascente, Santa Maria del Suffragio, Santa Maria delle Grazie.....) e altre 22 alle sante....ne restano davvero pochine!

Vie e piazze dedicate a 4 donne illustri:
Maria Gaetana Agnesi, Clelia Del Grillo Borromeo, Gae Aulenti, Marie Curie

La donna nella storia e nella sua espressione geografico-cittadina è un aspetto che sta analizzando Giuliana Nuvoli, ricercatrice e docente di Letteratura italiana alla Statale di Milano, che sta preparando, dopo il successo della versione romana scritta da Maria Pia Ercolini edita da Iacobelli, la guida turistico-culturale cittadina "Percorsi di genere femminili".
Ma facendo sempre caso ai nomi delle vie, davvero pochi sono dedicati a Scienziati e pochissimi a Matematici, figuriamoci se femminili.
Un esempio: alla scienziata e Premio Nobel Rita Levi Montalcini, scomparsa il 30 dicembre 2012, sono stati dedicati alcuni giardini e parchi, ma nessuna via. E così anche all'astrofisica Margherita Hack morta a Trieste il 29 giugno 2013.
Nell'interessante libro "Le vie di Milano: dizionario della toponomastica milanese" di Vittore e Claudio Buzzi, si trovano scrittori, pittori, artisti, martiri, patrioti, filosofi, politici, giuristi, giornalisti......ma davvero pochi scienziati e ancor meno matematici.

Vorrei quindi, attraverso questo post, fare un viaggio virtuale per le vie della mia città, Milano, insieme alle 4 donne legate al mondo della Matematica o della Scienza a cui è stata dedicata una via o una piazza.

Pagine di  “Istituzioni Analitiche ad uso della Gioventù” di Gaetana Agnesi

Il mio viaggio inizia da via Gaetana Agnesi, una stretta via che parte da via Sabotino 16 e arriva in via G. Romano (cap.20135).
Ma chi era Maria Gaetana Agnesi, ricordata soprattutto per “la strega di Agnesi”?
Maria Gaetana Agnesi fu una matematica e filantropa milanese del 18°secolo (1718-1799), prima donna ad essere chiamata a ricoprire una cattedra universitaria, all'Università di Bologna.
Maria Gaetana Agnesi fu una matematica apprezzata e conosciuta in buona parte dell’Europa per avere messo ordine tra i trattati sul calcolo infinitesimale, base dell’analisi matematica, unendo interessanti studi applicativi nella fisica e in numerosi altri ambiti scientifici.
Grande studiosa fin da giovanissima, la sua cultura e preparazione divennero note già quando aveva vent’anni e pubblicò il suo testo di analisi più importante quando ne aveva trenta, nel 1748.
Purtroppo pochi anni dopo Maria Gaetana Agnesi abbandonò quasi completamente gli studi, dedicando il resto della propria vita alle opere di beneficenza, prestando la sua opera anche in alcune sezioni dell’appena costituito Pio Albergo Trivulzio, sempre a Milano (attivo tutt’oggi), per il quale continuò a lavorare fino al 9 gennaio 1799, quando morì a 80 anni.
Fu quindi nel 1748 che pubblicò “Istituzioni Analitiche ad uso della Gioventù”, un trattato pubblicato prima in italiano e successivamente in francese e inglese ed ottenne un notevole successo in Europa.
Agnesi lo aveva scritto con l’obiettivo di mettere insieme in un unico testo le scoperte e le osservazioni fatte fino ad allora sul calcolo infinitesimale e sparse in trattati di più autori.
I due tomi delle “Istituzioni Analitiche” partivano da una chiara esposizione delle basi dell’algebra, passando poi alle equazioni algebriche, alla geometria analitica e al calcolo differenziale e integrale.
Sempre in questo trattato Maria Gaetana Agnesi descrisse un tipo di curva che chiamò “versiera”, nome che viene utilizzato ancora oggi per definirla.
Si tratta di una curva a forma di campana, che può essere ottenuta seguendo alcuni semplici procedimenti geometrici, mentre in analisi matematica può essere indicata ed espressa con una funzione cubica.



Anche se Agnesi non fu la prima a occuparsi della versiera, che in modi diversi era già stata studiata da Pierre de Fermat nella seconda metà del Seicento e da Guido Grandi nei primi del Settecento, che l’aveva chiamata versoria (facendone derivare il nome dal termine latino usato per indicare la cima che tiene un’estremità della vela sulle navi), i suoi studi divennero famosi forse anche grazie e un errore di traduzione.
Quando le “Istituzioni Analitiche” furono pubblicate in inglese la curva assunse il nome “witch of Agnesi”, cioè “la strega di Agnesi”. Il traduttore aveva infatti confuso il termine versiera con la parola avversiera, che indica un’”avversaria di Dio” e quindi per estensione una strega.
Nel mondo anglosassone e in diversi altri paesi come Messico e Spagna, la curva è nota ancora oggi come “la strega di Agnesi”.

Donna che legge - Ricreazione del ritratto di Clelia del Grillo Borromeo (1684-1777), 
opera del pittore tedesco Otto Scholderer (30 June 1883)

Mi trovo ora, ovviamente solo virtualmente, nel salotto di via Rugabella di Clelia Grillo Borromeo, poi trasformato nell’Academia Cloelia Vigilantium, sciolta nel 1726 per l’opposizione degli Asburgo.
Ecco un'altra donna legata alla Matematica a cui è stata dedicata via C.Grillo Borromeo, tra via Melchiorre Gioia e via Emilio Cornalia (cap.20124).
Guardando la targa salta agli occhi il fatto che non sia evidenziato il nome Clelia ma appaia solo l'iniziale C. che non aiuta certo a capire si tratti di una donna, definita poi "letterata"!
Nobildonna affascinante e dai molteplici interessi culturali e politici, venne descritta da Montesquieu come la “Femme la plus adorable de l’universe”.
Clelia Del Grillo Borromeo (Genova 1684 – Milano 23 agosto 1777), che parlava almeno otto lingue, si dilettava di geometria, conoscenza insolita per una donna della sua epoca e si fece notare, e non sempre benvolere, per la preferenza a ospitare nella sua casa personaggi non nobili ma intellettuali e studiosi.
Nata a Genova in una nota famiglia patrizia imparentata con illustri casate europee, Clelia era figlia di Marcantonio Grillo duca di Mondragone e marchese di Clarafuente e della marchesa Maria Antonia Imperiali.
Andata in sposa all'aristocratico Giovanni Benedetto Borromeo, fu cardine della nobiltà milanese per lungo tempo e animò per vari decenni nella città meneghina, nel proprio palazzo di via Rugabella, uno dei salotti più importanti di Milano.
Al suo interno si dava, come di consueto, grande rilievo alle arti liberali, con la differenza che presso la contessa Borromeo c'era un vero e proprio culto per la scienza e la matematica, tanto che vi si eseguivano anche esperimenti, cui era solito partecipare il più illustre frequentatore della casa, il naturalista Antonio Vallisneri.

Curva "Clelia" dal libro "Flores Geometrici ex Rhodonearum, e Cloeliarum curvarum" 
del matematico Guido Grandi, edito a Firenze nel 1728

La stessa contessa era una grande conoscitrice delle scienze naturali e della matematica, cui univa un'ottima padronanza del latino, del greco e dell'arabo.
Poliglotta e dai mille interessi (la matematica, la fisica, l’algebra), Clelia ricevette un grande omaggio dal matematico Guido Grandi, che battezzò “Clelie” alcuni tipi di curve la cui forma ricorda quella di un fiore a più petali uguali e di cui parlò nel suo "Flores Geometrici ex Rhodonearum, e Cloeliarum curvarum", edito a Firenze nel 1728, dove il professore cremonese diede appunto il nome "Clelie" alle celebri curve matematiche da ella stessa studiate e rielaborate.
Col passare del tempo il salotto ebbe però anche un ruolo politico così agguerrito da preoccupare Maria Teresa d'Austria.
Nel palazzo convenivano aristocratici attivisti, desiderosi di rovesciare il governo austriaco per tornare sotto la Spagna. Il principale attore in questo senso fu il conte Giulio Antonio Biancani, che Clelia tentò di nascondere nella propria casa e aiutò poi a fuggire quando esplose la repressione teresiana.
Il conte fu però scoperto, arrestato e decapitato.
Clelia pagò a caro prezzo il proprio impegno filospagnolo e Maria Teresa la esiliò e spogliò dei propri beni.
Rifugiatasi a Gorizia, ritornò poi a Milano, dove visse fino a novantatre anni, riaprendo il suo salotto, ora però più legato alla storia, alla poesia e al teatro.

Piazza Gae Aulenti

Proseguendo questo viaggio virtuale mi ritovo nello scenario avveniristico di Piazza Gae Aulenti da dove si può godere ottimamente dello skyline di Milano.
Simbolo della Milano contemporanea, la piazza è stata dedicata  all'architetto e designer Gae Aulenti e si trova alla fine di corso Como, davanti alla Stazione Garibaldi (cap. 20154).
Il 7 dicembre 2012 infatti viene inaugurata ed intitolata a suo nome la nuova grande piazza circolare situata al centro del complesso della Unicredit Tower di Milano.
Anche se non si può proprio annoverare come scienziata o matematica, Gae Aulenti (Palazzolo dello Stella, 4 dicembre 1927 – Milano, 31 ottobre 2012) è il primo architetto ad aver dimostrato che l'architettura è un sostantivo di genere femminile.
L'architetto Aulenti (Gae è il diminutivo di Gaetana, un nome che fu imposto da una nonna terribile) è stata una delle prime donne "vincenti" in un mondo molto maschile, dato che della sua generazione erano solo in due: Gae e Cini Boeri.
Da Tokyo a Buenos Aires, da San Francisco a Parigi e Barcellona, non c'è grande città che non porti un suo segno. È un personaggio-simbolo della Milano razionale e colta.
Laureatasi al Politecnico di Milano Gae Aulenti, pioniera degli archi-star, è uno degli architetti che hanno fatto la storia dell'architettura moderna.

Architetto e designer Gae Aulenti 

Il progetto più significativo è stato sicuramente quello del Musee d'Orsay di Parigi (riaperto al pubblico nel 1986), la facciata dell'Istituto italiano di cultura di Tokio (2006), ma anche la ristrutturazione di Palazzo Grassi a Venezia e del Palavela per le Olimpiadi invernali Torino 2006, senza dimenticare la famosa lampada "Pipistrello" per Martinelli Luce (1963).
Gae Aulenti formatasi come architetto nella Milano degli anni cinquanta ha sempre sostenuto fermamente un'architettura per il recupero dei beni culturali e urbani preesistenti per un'integrazione armonica tra nuovo e antico, trasmettendo sempre la complessa molteplicità della geometria urbana e della metropoli, sostenendo sempre il grande aiuto che le aveva dato la matematica da lei definita come "il pensiero razionale che ci aiuta sempre".
Il 16 ottobre 2012, pochi giorni prima della sua morte il 31, venne insignita del premio alla carriera consegnatole dalla Triennale.

Marie Curie Nobel per la Fisica nel 1903 e per la Chimica nel 1911

Allontanandomi dalla piazza e andando proprio verso la Triennale mi imbatto in viale M. Curie, il cavalcavia, proseguimento di via XX Settembre, che arriva in via E. Zola di fronte ai Giardini Pubblici e alla Triennale (cap.20121).
Ho poi comunque scoperto alle tre vie nell'hinterland milanese, dedicate alla grande scienziata Marie Curie; a Gessate (cap.20060) , Assago (cap.20090) e Novate Milanese (cap.20026).
Maria Sklodowska (Varsavia, 7 novembre 1867 – Passy, 4 luglio 1934), meglio nota come Marie Curie, è stata una chimica e fisica polacca, prima donna professore alla Sorbona di Parigi e prima donna della storia a ricevere il premio Nobel per la fisica nel 1903.
Ma non solo, nel 1903 fu insignita del premio Nobel per la fisica e nel 1911 del premio Nobel per la chimica per i suoi lavori sul radio.
Marie Curie è stata l'unica donna tra i quattro vincitori di più di un Nobel e l'unica ad averlo vinto in due aree distinte.
Oltre a lei soltanto un'altra persona sino ad ora, ha ricevuto due premi Nobel in due campi differenti: Linus Pauling che oltre a quello per la chimica nel 1954 ne ha ottenuto un altro nel '62, ma per la pace.


Belgio - 1927 in occasione della Solvay Conference sulla meccanica quantistica

Il 28 marzo 1902 Marie annota sul suo quaderno nero: RA = 225,93 - peso di un atomo di radio.
Scopritrice del Radio, con una decisione insolita, Maria Curie intenzionalmente non depositò il brevetto internazionale per il processo di isolamento del radio, preferendo lasciarlo libero affinché la comunità scientifica potesse effettuare ricerche in questo campo senza ostacoli, in maniera tale da favorire il progresso in questo settore scientifico.
Proprio in occasione della conferenza per il primo premio Nobel, il marito Pierre Curie pronunciò queste parole:
"Si può ritenere che, in mani criminali, il radio possa diventare molto pericoloso; ci si può chiedere se l'umanità saprà trarre vantaggi dalla conoscenza dei segreti della Natura, se è matura per approfittarne o se questa conoscenza potrà invece essere nociva. L'esempio della scoperta di Nobel è significativo: i potenti esplosivi hanno permesso all'uomo di fare opere ammirevoli, ma sono stati anche usati come mezzo terribile di distruzione dai grandi criminali che trascinano i popoli verso la guerra. Sono uno di quelli che pensano, come Nobel, che l'umanità saprà trarre più benefici che danni dalle nuove scoperte."
Il 20 aprile 1995 le sue spoglie (insieme a quelle del marito Pierre) sono state trasferite dal cimitero di Sceaux al Pantheon di Parigi. È stata quindi ancora una volta la prima donna della storia ad avere ricevuto questo onore (per meriti propri). Per il timore di contaminazioni radioattive, la sua bara è stata avvolta in una camicia di piombo.

Concludo questa mini carrellata augurandomi di poter presto vedere molti più nomi di vie e piazze  
dedicati a grandi donne, matematiche e scienziate che importanti contributi hanno lasciato, ma che sono poco note ai più.

Mappa di Milano - Vie e piazze dedicate a 4 donne illustri:
Maria Gaetana Agnesi, Clelia Del Grillo Borromeo, Gae Aulenti, Marie Curie

Fra le matematiche vorrei veder ricordata Ipazia (370-415 d.C.), figlia del matematico e filosofo Teone, che diventò capo di una scuola platonica di Alessandria d'Egitto frequentata da molti giovani. Fu uccisa barbaramente da monaci, forse anche perché tanta genialità matematica in una donna poteva sembrare indice di empietà.
Nel 1700, oltre alla già citata Maria Gaetana Agnesi, Sophie Germain (1776-1831) fu una riconosciuta esperta di teoria dei numeri e di fisica.
Nel XIX secolo ci furono numerose grandi matematiche, fra le quali emergono soprattutto Sofia Kovaleskaja (1850-1891), professore all'Università di Stoccolma, e Emmy Noether (1882-1935), fondatrice dell'Algebra moderna nonché valida collaboratrice di Albert Einstein.
"Fräulein Noether è stata il genio matematico più importante da quando le donne hanno avuto accesso all'istruzione superiore".
Queste parole, scritte da Albert Einstein in occasione della morte di Emmy Noether, danno l'idea dell'importanza di questa grande matematica, definita la "madre della moderna algebra astratta".
Fra le matematiche italiane di questo secolo andrebbero anche ricordate Pia Nalli (1866-1964) professore ordinario di analisi matematica all'università di Cagliari e poi di Catania, Maria Pastori (1895-1975) ordinario di Meccanica Razionale all'università di Messina, Maria Cibrario Cinquini (1905-1992), ordinario di Analisi matematica a Cagliari e professore emerito dell'università di Pavia, Maria Biggiogero Masotti ordinario di geometria presso il Politecnico di Milano.
Fra le fisiche e le astrofisiche come non ricordare, oltre alla già citata Marie Sklodwska Curie (1867-1934), la figlia Irene Curie (1897-1956) premio Nobel per la chimica nel 1935, Lise Meitner (1878-1968) che scopre il fenomeno della fissione nucleare ed è la prima donna ad avere una cattedra universitaria di fisica in Germania, Marie Goeppert Mayer (1906-1972) premio Nobel per la fisica nel 1963 per la sua teoria sui "numeri magici" che determinano la stabilità degli atomi, Wu Chieng-Shiung (1913-1997), professore di fisica alla Columbia University, scopritrice della non conservazione della parità nelle interazioni deboli.
Ultima ma non ultima la già citata Margherita Hack grande astrofisica e divulgatrice scientifica che Umberto Veronesi così definì "È l'icona del pensiero libero e dell'anticonformismo"
Altrettanto numerose sono le scienziate nel campo della biologia e delle scienze mediche, molte insignite di premio Nobel. Per tutte la già ricordata Rita Levi-Montalcini (1909) premio Nobel per la medicina nel 1986.

Una lista completa sarebbe per me comunque difficile da presentare, ma rimane il fatto che è giusto ricordare le grandi donne del passato e le sempre più numerose dei giorni nostri, che hanno contribuito e contribuiranno al progresso in tutti i campi.




I Peanuts e i quaternioni

Al "Caffè del Cappellaio Matto" si terrà l’edizione numero 99 del Carnevale della Matematica e avrà come tema "Matematica e/a/con i/per i/dei fumetti".
Un tema sempre intrigante che permette di parlare anche di argomenti matematici un po' ostici e astrusi insieme alla spensieratezza dei fumetti.
Concludendo un articolo a "fumetti" sui numeri immaginari (i binioni) mi ero ripromessa di parlare in seguito dei quaternioni....allora "Calvin & Hobbes" erano troppo stanchi per proseguire nel viaggio!
In questo articolo vorrei fare quindi una carrellata sui quaternioni con altri amici, i famosi Peanuts.




Incomincio a presentarveli!
Peanuts è il titolo di un celebre fumetto creato nel 1950 da Charles Schulzanche se il nome Peanuts, “noccioline”, non piacque mai particolarmente all’autore, ma fu voluto dalla United Feature Syndicate, che ne pubblicò le strisce.
La serie ebbe origine da alcune tavole domenicali, Li’l Folks ("personcine") pubblicate fra il 1947 e il 1949, che presentavano tanti piccoli personaggi senza nome. 
All'inizio apparivano le avventure di un gruppo ristretto di bambini per poi arrivare a una striscia con un personaggio principale, Charlie Brown, che si ispirava all’infanzia dell’autore stesso che Schulz avrebbe voluto chiamare Ol’Charlie Brown. 
I personaggi di Peanuts non invecchiano, o almeno lo fanno molto lentamente e fino a un certo punto, per esempio Charlie Brown debutta come bambino di 4 anni e ce ne metterà 20 per arrivare a festeggiare l’ottavo compleanno. 
Ma il tempo non scorre allo stesso modo per tutti, il discorso è un po’ diverso per i neonati, 
Linus, per esempio, è un neonato quando Charlie Brown è già un bambinetto, crescerà alquanto rapidamente (dati gli standard di Schulz) fino a quando non avrà un anno in meno rispetto a Charlie Brown.
Schulz inserisce nelle sue strisce un’acuta critica sociale, emblematico è il personaggio di Piperita Patty rappresentata come un “maschiaccio”, scelta alquanto insolita se si considera l’immagine che i media davano delle ragazze in quegli anni. 




I temi su cui Schulz si sofferma sono vari, spaziano dalla questione razziale con l’inserimento di Franklin, il personaggio secondario afroamericano, alla guerra in Vietnam, passando per la critica alla spersonalizzazione delle persone (nel 1963 inserisce nel cast un bambino chiamato “5”, con le sorelline “3” e “4”, il cui padre ha cambiato il proprio cognome sostituendolo col proprio codice postale come forma di protesta per il progressivo sostituirsi dei numeri all’identità delle persone), ecc. 
Il tutto affrontato solo da un gruppo di bambini (nella serie infatti non compaiono mai gli adulti) con personalità e caratteristiche caratteriali molto simili a quelle dei “grandi”: Charlie Brown è depresso e sfiduciato, Lucy è isterica, Linus è maturo, Schroeder è chiuso nel suo mondo fatto di note.

E come non coinvolgere questi simpaticissimi personaggi  con la matematica?
Detto e fatto  Charlie Brown, Lucy, Schroeder, Linus.....mi accompagneranno in questo viaggio immaginario nel mondo oscuro dei quaternioni!

Parlando dei quaternioni non si può certo dimenticare il loro ideatore e un ponte su un canale di Dublino.
Il Royal Canal di Dublino è un corso d’acqua alla periferia della città, bucolico e ameno, che nessuno potrebbe sospettare essere stato sede di un evento epocale. 
Eppure uno dei suoi ponti più noti, il Broome Bridge, è meta, da alcuni decenni,  di turisti alla ricerca di una lapide commemorativa, posta nel 1958 e che riporta una curiosa iscrizione.
Questa lapide infatti testimonia una celebre passeggiata, destinata a lasciare una forte impronta nella storia della Matematica e nelle Scienze Applicate.




Ricorda infatti che il 16 ottoobre del 1843 un trentottenne, celebre e affermato fisico-matematico irlandese, William Rowan Hamilton, insieme alla moglie Helen si sta recando ad un congresso della Royal Irish Academy e, malgrado le chiacchiere  della moglie, il giovane scienziato è completamente assorto nei suoi pensieri.
Sono anni che Hamilton si arrovella sul problema apparentemente insolubile di estendere in R³ il concetto di numero complesso e dopo aver quindi ricercato invano un'estensione tridimensionale, ne formulò una con dimensione 4
Ed ecco che, improvvisa e folgorante, arriva l’intuizione geniale ed Hamilton, eccitato dalla scoperta, si precipita a incidere sulle pietre del ponte Brougham (oggi noto come Broom Bridge) la celebre formula:

i2 = j2 = k2 = ijk = - 1

Dopo questa introduzione decisamente romanzesca e romantica, sulla nascita del concetto di quaternione, vediamo di addentrarci ora con l'aiuto degli amici Peanuts nell'ostico argomento.

Hamilton descrisse un quaternione come una quadrupla ordinata (4-upla) di numeri reali, dove la prima coordinata è la parte scalare e le rimanenti tre sono la parte vettoriale. 
La Matematica contemporanea riconosce i quaternioni come una estensione del campo dei complessi, dei cosiddetti binioni:
a+bi
In generale, un quaternione è una combinazione lineare delle unità dei quaternioni 1, i, j, k, esprimibile in modo unico come:
a+bi+cj+dk 
con a, b, c, d coefficienti reali; a è definito scalare, mentre gli altri coefficienti costituiscono il vettore.
Quindi l'insieme H dei quaternioni (H in onore di Hamilton) contiene, come sottoinsiemi, sia i numeri complessi che quelli reali, i primi sono i quaternioni della forma (a, b, 0, 0), mentre i reali sono i quaternioni della forma (a, 0, 0, 0).
Nell’insieme H vengono definite due operazioni: la somma e il prodotto. 
La somma, come avviene per i complessi, si realizza attraverso la somma dei coefficienti:

q+q’ = (a, b, c, d,) + (a’, b’, c’, d’) = (a+a’, b+b’, c+c’, d+d’)

Il prodotto è, invece, definito dalla seguente tabella moltiplicativa (per le unità dei quaternioni):



quindi:

qxq’ = (a, b, c, d,) x (a’, b’, c’, d’) (aa’-bb’-cc’-dd’, ab’+ba’+cd’-dc’, ac’+ca’-ba’+db’, da’+ad’+bc’-cb’)

Esempio
Dati i due quaternioni:
x = 3+i 
y = 5i+j-2k 
Somma e prodotto sono dati da:
x+y = 3+6i+j-2k 
xy = (3+i)(5i+j-2k) = 15i+3j-6k+5i²+ij-2ik = 15i+3j-6k-5+k+2j = -5+15i+5j-5k

Questa formalizzazione necessitava l'abbandono della commutatività della moltiplicazione, una scelta radicale per quel tempo, in cui non erano ancora disponibili l'algebra lineare ed il prodotto fra matrici. 
Più in generale, Hamilton ha in un certo senso inventato il prodotto vettoriale ed il prodotto scalare negli spazi vettoriali.
La mancanza di questa proprietà fu quindi un argomento assai duro da digerire per i contemporanei di Hamilton, poiché rappresentava una novità assoluta e, per molti, sconcertante nella storia della Matematica.
Il prodotto tra quaternioni, così definito, porta ad una seconda sorprendente proprietà: i polinomi definiti in H possono avere un numero di zeri superiore al loro grado!
E' facile constatare infatti che ±i, ±j, ±k sono le sei differenti soluzioni dell’equazione: 
x²=-1
I quaternioni possono essere scritti anche facendo ricorso alle matrici complesse 2 x 2:



Ed è quindi facile anche verificare che il prodotto di due quaternioni non è in generale commutativo. Ad esempio, ij = k  è diverso da ji = -k .

Analogamente a quanto accade per i numeri complessi, anche tra i quaternioni è definito il concetto di coniugato, di inversodi norma (con le loro proprietà).




Coniugato
Il coniugato di un quaternione 
 q = a+bi+cj+dk      
è il quaternione
\bar q = q' = a-bi-cj-dk.
Il coniugato soddisfa le seguenti proprietà



Il coniugato può anche essere espresso da una combinazione lineare di q, con coefficienti contenenti i, j, k, nel seguente modo: 
\bar q = -\frac{q +iqi+jqj+kqk}{2}




Inverso
Un quaternione q  diverso da zero ha un inverso per la moltiplicazione, dato da:
 q^{-1} = \frac{\overline q}{|q|^2}.
infatti
 qq^{-1} = q\frac{\overline q}{|q|^2} = \frac {q\overline q}{|q|^2} = \frac{|q|^2}{|q|^2} = 1
e similmente 
q^{-1}q = 1  
Valgono le seguenti proprietà:

 \overline {q^{-1}} = {\overline q}^{-1},
 |q^{-1}| = \frac 1{|q|},
 (qq')^{-1} = {q'}^{-1}q^{-1}.\,\!



Norma
La norma di q  è il numero reale non negativo dato da:
{\textstyle |q|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}.}
La norma di q è sempre positiva, e nulla soltanto se q = 0 e valgono le relazioni seguenti:
|q|^2 = q\bar q,
|qq'| = |q||q'|.\,\!

I quaternioni formano quindi un corpo non commutativo e soddisfano tutte le proprietà dei campi, quali i numeri reali o complessi, tranne la proprietà commutativa del prodotto. 
Va ricordato che le estensioni dei quaternioni, quali gli ottetti e i sedenioni, non hanno neppure la proprietà associativa.
Abbiamo visto che i quaternioni contengono i numeri reali e i numeri complessi  e formano anche uno spazio vettoriale reale di dimensione 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio a 2 dimensioni, cioè un piano). 
Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una struttura di algebra di divisione non commutativa.





L'uso dei quaternioni suscitò allora molte controversie. 
Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero veementemente allo studio dei settori emergenti dell'algebra lineare e del calcolo vettoriale (sviluppato fra gli altri da Oliver Heaviside Willard Gibbs), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. 
Oggi però sappiamo che i quaternioni sono una struttura molto particolare, che non offre molte altre generalizzazioni in altre dimensioni.
Una curiosità è che una prima versione delle equazioni di Maxwell utilizzava una notazione basata sui quaternioni.




All’epoca della passeggiata sul fatidico ponte, Hamilton era un famoso e affermato matematico e a lui è dovuta la generalizzazione dei risultati della meccanica newtoniana, attraverso le celebri equazioni di Hamilton e la funzione hamiltoniana, ma a partire da quel giorno Hamilton si dedicò esclusivamente ai quaternioni, abbandonando ogni altro studio. 
Hamilton continuò così a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, "Elementi sui quaternioni" aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte,  avvenuta il 2 settembre 1865 all’età di sessant’anni.




Ma mai forse si sarebbe immaginato di vedere le proprie creature applicate nella computer graphic (si pensi alla rappresentazione frattale dell’insieme di Mandelbrot e dell’insieme di Jiulia, da cui deriva), nella definizione di frattali (in particolare nella rappresentazione di rotazioni tridimensionali), nella teoria del controllo, piuttosto che nella meccanica orbitale.
Chi ha qualche nozione di meccanica quantistica, avrà notato la notevole somiglianza delle matrici precedenti con le matrici di Pauli per la descrizione dello spin, generalmente indicate con σx, σy, σz e così definite:



Ma i quaternioni sono alla base anche di applicazioni che incontriamo tutti i giorni, tipo i videogiochi in 3D, o i softwares per visualizzare modelli tridimensionali, e che usano proprio i quaternioni per le routine di trasformazione delle immagini.
Ma non solo!


 


E' proprio di questi giorni (il 5 luglio 2016) l'evento epocale che ha visto la sonda Juno della Nasa entrare nell'orbita di Giove. 
Mai finora un veicolo era stato così vicino al pianeta più grande del Sistema Solare dando così la possibilità ai nove strumenti a bordo, due dei quali italiani, di poter dare le risposte alle tante domande aperte sul pianeta gigante. E a questo ha contribuito senz'altro anche la scoperta di Hamilton! 
Gli strumenti di controllo dell'assetto di un veicolo spaziale usano infatti un sistema comandato proprio mediante quaternioni.



Snoopy non sbaglia, infatti nel 1840, tre anni prima, Benjamin Olinde Rodrigues (6 ottobre 1795 - 17 dicembre 1851), più comunemente noto come Olinde Rodrigues ,  un banchiere francese, nonché matematico e riformatore sociale, aveva pubblicato un risultato sui gruppi di trasformazione usando una formula risolutiva al problema di rappresentare rotazioni nello spazio, anticipando quindi quella di William Rowan Hamilton. Tuttavia il suo lavoro era stato ignorato, e riscoperto solo nel tardo XX secolo.
E pare anzi che già nel 1819 il grande matematico, astronomo e fisico tedesco Carl Friedrich Gauss avesse scoperto i quaternioni anche se questo lavoro non venne allora pubblicato ma riscoperto e pubblicato solo nel 1900.

Vorrei fare un'ultima considerazione a proposito dell'invenzioni dei quaternioni.
Intanto la definisco invenzione e non scoperta perché ha tutte le caratteristiche proprie dell'invenzione.
Il processo inventivo infatti richiede la consapevolezza di concetti esistenti o metodi che possono essere modificati o trasformati in un'invenzione attraverso creatività e intuizione, come fece Hamilton sul ponte Brougham di Dublino. 
E così come un'invenzione è sempre un progresso dal punto di vista conoscitivo ma non è detto che sia utile immediatamente o per tutti, così sono stati i quaternioni, un'invenzione infatti che si è rivelata molto utile, ma in un periodo successivo.