giovedì 7 dicembre 2017

L'albero di Natale perfetto......matematico?

Questo articolo non vuole certo essere un trattato di matematica sull'albero di Natale, ma solo ricordare curiose e simpatiche formule ideate, da un matematico e da un team di due Università britanniche, per renderlo "perfetto"!
Dato il tema, "matematica festiva" proposto da Mau per questo Carnevale della Matematica #114, mi sono ricordata di aver letto tempo fa di un "albero decisionale" proposto dal Dott. Gordon Hunter, della Kingston University of London, per la scelta dell'albero, e di alcune formule di un team della Britain's University of Sheffield per determinare gli addobbi perfetti.
La matematica avrebbe fornito così una risposta a coloro che si battono per creare l'albero di Natale perfetto.


L’albero di Natale 2017 di 30 m. che Sky ha allestito in piazza Duomo a Milano 
(foto Annalisa Santi)


Il Dott. Gordon Hunter, che lavora nella Facoltà di scienze, ingegneria e informatica dell'Università londinese, ha creato un "albero decisionale per il Natale", basato su un metodo scientifico più comunemente usato per aiutare a risolvere problemi aziendali e personali.
Il dott. Hunter spera che il suo sparkler statistico aiuti le persone a risolvere l'enigma di scegliere il loro albero di Natale ideale, prestando particolare attenzione a fattori chiave come odore, colore, stile e dimensioni (come si vede dall'immagine sono però esclusi o meglio poco considerati gli alberi "finti").
Infatti ha accettato la sfida nel 2013, dopo che gli era stato chiesto se fosse possibile creare un "albero decisionale di Natale" per la catena di centri di giardinaggio Dobbies, leader del settore. 
L'azienda, che ha filiali in tutto il Regno Unito, era desiderosa di aiutare i suoi clienti a trovare una soluzione per i loro "alberi", scegliendo la varietà di pino o abete (abete di Fraser, abete nordico, abete norvegese o abete rosso blu) più adatta ai loro gusti.


Dr. Gordon Hunter (Credit Kingston University London)


Queste le parole di Gordon che hanno sottolineato la sua collaborazione:

"It was an interesting change to be given the opportunity to take a method I use in my research and give it a quirky, seasonal application, accessible to everyone. My Christmas decision tree will hopefully help people decide what type of tree is best for them and their home."

"È stato un cambiamento interessante avere l'opportunità di prendere un metodo che uso nella mia ricerca e dargli una insolita applicazione stagionale, accessibile a tutti. Spero che il mio albero decisionale di Natale aiuterà le persone a decidere quale tipo di albero sia meglio per loro e per la loro casa".


"L'albero delle decisioni di Natale" del Dr. Gordon Hunter (Credit Kingston University London)
Come si legge nell'immagine:
Albero artificiale
Disponibile con un sacco di dimensioni, colori e forme, può adattarsi alle preferenze di tutti, puoi averne uno d'argento alto e scintillante, uno verde tradizionale o uno piccolo. Quello che vuoi! 
Abete di Fraser
Di forma più snella, i suoi rami con aghi morbidi sono adatti per essere meno decorati, dando massima eleganza alla casa e ha un buon profumo di agrumi
Abete Nordico
Con il suo ricco fogliame verde scuro, ha un profumo leggero e foglie morbide, è un albero  ideale per la famiglia!
Abete rosso di Norvegia 
Viene considerato il classico albero di Natale tradizionale con la sua forma piramidale, buon profumo di festa e fogliame verde scuro. 
Per i tradizionalisti o i perfezionisti tra di noi!
Abete Blu
Un albero più largo con un fogliame naturalmente blu. Questo albero si adatta a una miriade di decorazioni favolose!
Vai selvaggio e meraviglioso! Dopo tutto è Natale!

"L'albero delle decisioni di Natale", usato da Hunter, aiuta quindi una persona a trovare una risposta adatta a domande dalle molte sfaccettature.
Contiene infatti domande come "ti piace un albero grande", "ti piace un albero folto?" e "vuoi un albero per sentire anche l'odore del Natale?"...... 
Le risposte si o no portano a domande di follow-up fino a quando non conducono al miglior albero possibile per ognuno.

"Ora, con l'aiuto dell'"albero delle decisioni natalizie", i nostri clienti passeranno meno tempo a rivedere le molte meravigliose varietà disponibili e avranno più tempo per pensare a come farle brillare", ha detto Steve Guy, un 'esperto dell'albero di Natale della catena Dobbies.


Ma anche un'altra sfida, oltre alla scelta dell'albero, è stata accettata dalla Maths Society della Britain's University of Sheffield.
L'Università ha accettato infatti la sfida di trovare una formula che permettesse di decorare un albero in modo tale che albero e addobbi sfarzosi fossero in proporzione armoniosa, risolvendo così il problema di non creare un albero troppo misero o troppo vistoso.
I membri della Sheffield University Maths Society (SUMS) hanno creato una formula "festiva" per garantire il giusto rapporto tra luci, filamenti e palline, per dare all'albero di Natale il look perfetto.

I loro calcoli hanno questo aspetto:



Ecco le formule per stabilire il numero di palline, la lunghezza dei tinsel (lunghi pezzi di materiale sottile e lucido usati come decorazione) e delle luci, nonché l'altezza della stella, angelo o guglia da mettere in cima all'albero:

- Numero di palline = prendi la radice quadrata di 17, dividila per 20 e moltiplicala per l'altezza dell'albero (in centimetri)
- Lunghezza dei tinsel (in centimetri) = considera il numero 13, moltiplicalo per π (3,145....), dividilo per 8 e quindi moltiplicalo per l'altezza dell'albero
- Lunghezza del filo delle luci dell'albero (in centimetri)¹ = prendi π (3,145....) e moltiplicato per l' altezza dell'albero
- Altezza (in centimetri) di stella o angelo sopra l'albero = prendi l'altezza dell'albero e dividila per 10

nota¹ Non è stata chiarita la densità delle luci sul filo, ma si potrebbe ipotizzare una densità dalle 4 alle 10 luci per metro in base anche alla loro luminosità (se a led o no)

Per essere più chiari consideriamo, ad esempio, un albero di Natale di 180 cm. e, aiutandoci con una semplice calcolatrice o con la soluzione immediata che si trova sul sito , potremmo calcolarne gli addobbi.  
Per questo albero ci vorranno quindi 37 palline, circa 919 cm di tinsel (30 piedi), 565 cm (19 piedi) di luci e una stella o angelo di 18 cm (sette pollici) e così, come sostiene l'Università, l'aspetto sarà perfetto!

Numero di palline
 √17 = 4,123 
4,123 : 20 = 0,206
0,206 x 180 = 37,10 -> 37 

Lunghezza dei tinsel
13 x π (3,145...) = 40,84
40,84 : 8 = 5,10
5,10 x 180 = 918,91 -> 919 cm.

Lunghezza delle luci
π (3,145...) x 180 = 565,48 -> 565 cm.

Altezza stella o angelo o guglia
180 : 10 = 18 cm.

Albero 180 cm. e addobbo perfetto calcolato al sito sheffield


Ha suscitato particolarmente il mio interesse, o forse meglio dire la mia curiosità, nella formula per calcolare la lunghezza dei tinsel, il fattore 13/8. 
Non ho trovato file che spiegassero in dettaglio come siano state trovate queste formule, quindi non so se sia stato intenzionale o no, ma è interessante osservare che 8 e 13 sono numeri consecutivi di Fibonacci
Perché questo è interessante? 
Perché la sequenza di Fibonacci è strettamente correlata alle spirali e, solitamente, i tilsen si dispongono appunto a spirale. 
In particolare questa cosa la si vede anche in natura e se, per esempio, si guardano le spirali su un ananas, le spirali che vanno in una direzione potrebbero essere 13 e il numero nella direzione opposta potrebbe essere 8. O i numeri potrebbero essere 21 a sinistra e 13 a destra.... Il fatto è che i numeri delle spirali dell'ananas sono sempre numeri consecutivi di Fibonacci (o talvolta numeri di Lucas). 
E si nota lo stesso effetto su altre cose, come le spirali di semi nella testa di un girasole, o i semi su una fragola, o le spirali su una pigna, o un cavolfiore, o ogni sorta di cose. 
Bisogna quindi proprio dedurre che i tinsel per un albero di Natale debbano formare spirali di Fibonacci? 

Albero a spirale

Ma saranno poi davvero attendibili queste formule?

Per inciso vorrei ricordare che la Britain's University of Sheffield, con circa 26.000 studenti provenienti da 125 paesi, è una delle principali e più grandi università del Regno Unito. Membro del gruppo Russell, ha una reputazione per l'insegnamento di livello mondiale e l'eccellenza della ricerca in una vasta gamma di discipline. 
L'Università di Sheffield è stata nominata University of the Year ai Times Higher Education Awards 2011 per le sue eccezionali prestazioni in termini di ricerca, insegnamento, accesso e prestazioni aziendali. Inoltre, l'Università ha vinto quattro Queen's Anniversary Prizes (1998, 2000, 2002 e 2007).
Questi premi prestigiosi riconoscono il contributo eccezionale delle università e dei college alla vita intellettuale, economica, culturale e sociale del Regno Unito. 
Sheffield vanta anche cinque vincitori del premio Nobel tra ex dipendenti e studenti e molti dei suoi alunni hanno ricoperto posizioni di grande responsabilità e influenza in tutto il mondo. 
I partner e i clienti di ricerca dell'università includono Boeing, Rolls-Royce, Unilever, Boots, AstraZeneca, GSK, ICI, Slazenger e molti altri nomi di famiglia, oltre a agenzie governative e di enti governativi oltreoceano e d'oltremare e fondazioni di beneficenza.
L'Università ha partnership consolidate con un certo numero di università e grandi aziende, sia nel Regno Unito che all'estero. La sua partnership con le università di Leeds e York nel consorzio White Rose ha un potere di ricerca combinato superiore a quello di Oxford o Cambridge.
Queste equazioni sono state create da due ex studenti e membri di SUMS alcuni anni fa, commissionate dal grande magazzino Debenhams, e sono equazioni facili, facili fatte anche per coinvolgere simpaticamente le persone alla matematica.


Accensione del 6 dicembre dell’albero di Natale 2017 allestito in piazza Duomo a Milano 
(foto Annalisa Santi)

Restando in tema e parlando di Università, desidero ricordare l'iniziativa milanese, legata al grande albero di Natale di piazza Duomo a Milano, che vede una collaborazione tra Sky Academy e il Politecnico di Milano - Scuola e Dipartimento di Design. 
Non si tratta di formule matematiche in questo caso, ma di un’attività che ha come obiettivo comune quello di sviluppare la cultura dell’innovazione e della sostenibilità, a cui parteciperanno circa 50 giovani designer supportati dai docenti.
Per le prossime festività natalizie infatti Sky Italia – grazie al supporto operativo di Live di IGPDecaux e con l’agenzia di promo&activation Integer - rende omaggio alla città di Milano con un dono molto speciale. 
Dal 6 dicembre al 7 gennaio è infatti possibile ammirare, in piazza Duomo, un maestoso albero di Natale, scelto nel pieno rispetto dell’ambiente. 
L’abete rosso, selezionato in collaborazione con il Corpo Forestale del Trentino Alto-Adige (non credo con "l'albero decisionale" del Dott. Gordon Hunter) , era infatti già destinato all’abbattimento, poiché superiore all’altezza massima consentita per garantire la sicurezza delle strade poste nelle vicinanze. 
L’albero di Natale che Sky ha allestito in piazza Duomo a Milano ha un’altezza imponente di oltre 30 metri ed è l’albero più alto di sempre per il Natale della piazza milanese più famosa.


Accensione del 6 dicembre dell’albero di Natale 2017 , allestito in 
piazza Duomo a Milano (foto Annalisa Santi)


Ma vediamo se è perfetto?

Secondo le formule, avendo un'altezza di 30 metri (3000 cm.), dovrebbe infatti essere adornato con:
618 palle
15315 cm. di tinsel (fili lucenti)
9425 cm. di fili di luci
e sulla sommità con una stella (o angelo) di 3 metri (300 cm)
L’accensione è avvenuta mercoledì 6 dicembre, alla vigilia della festa patronale milanese di Sant’Ambrogio, e ha dato il via ufficiale al periodo natalizio della città di Milano. 
Per tutto il periodo delle feste, l’albero illuminerà l’intera piazza, grazie a 100.000 luci led (il massimo previsto dal bando pubblico che non credo proprio corrispondano ai circa 94 metri previsti dalla formula) di colore bianco caldo, rispettando la tradizione dell’albero di Natale e la sua eleganza, con un effetto di intermittenza per rendere ancora più scenico l’impianto sia di giorno che di notte. 
Di colore bianco sono anche le oltre 700 palline natalizie (e qui ci avviciniamo alle previste 618), in parte lucide e in parte opache, che riflettono la luce dei led, amplificandola ulteriormente senza creare al contempo un elemento di disturbo.
Gli addobbi e le decorazioni dell’albero di Natale sono stati previsti nel pieno rispetto delle normative vigenti e in piena sintonia con l’attenzione alle tematiche ambientali. 
Quindi un responsabile utilizzo della plastica con cui sono realizzate le palle natalizie (in linea con la campagna del gruppo “Sky Ocean Rescue – Un mare da salvare”) e con il riutilizzo delle stringhe a led che verranno riconsegnate ai fornitori dopo l’utilizzo nel periodo natalizio.
Quando, al termine delle festività natalizie, l’albero sarà spento e dismesso, Sky si impegna a coordinare le attività per il riutilizzo dell’albero stesso, con un progetto per la realizzazione di arredi urbani di pubblica utilità, grazie alla preziosa collaborazione, di cui dicevo, tra Sky Academy e il Politecnico di Milano - Scuola e Dipartimento di Design. 
Un’apposita giuria, composta da referenti Sky Academy e del Politecnico di Milano, selezionerà l’idea migliore, che verrà realizzata nella fase successiva del progetto, che prevede, infatti, un workshop pratico per la trasformazione fisica del legno dell’albero di Natale in arredi urbani da collocare sul territorio milanese.

L'"imperfetto" ma "sessantennale" Albero di Natale allestito,
coma da tradizione, a Sant'Ambrogio il 7 dicembre 2017

(foto Annalisa Santi)

In conclusione esiste la possibilità di creare un albero "ideale" e  davvero perfetto?
Sicuramente l'albero perfetto è una questione di preferenze personali, e in questo senso non può essere definito da un insieme di regole matematiche. 
Il mio, che viene fatto dal 1956 (lo comprò mio padre tra i primi "finti"), sarà certamente imperfetto, anzi forse decisamente misero come fogliame, ma troppo ridondante di addobbi, molti ancora dell'epoca, quindi sicuramente molto kitsch. 
Ma è adornato con tutte le palline, le decorazioni e le luci accumulate in 60 anni, almeno con quelle che non sono state perse o rotte, e sicuramente per me è sempre un ricordo meraviglioso che non avrebbe eguali di perfezione.....nemmeno con la "matematica"!!!! 




martedì 24 ottobre 2017

Hailstone....dagli abissi marini ai numeri

Hailstone in inglese significa grandine e questa parola mi ha condotto a due eventi, uno legato agli abissi e uno alla matematica.
Stavo cercando immagini da correlare alla curiosità matematica della congettura di Collatz o "hailstone sequence", quando mi sono imbattuta in immagini stupende dei fondali marini, legati all' "operation hailstone". 
Si tratta della Laguna di Truck (Truck Lagoon) e della sua flotta di relitti sommersi, conosciuta da tutti i subacquei come un posto paradisiaco. 


Laguna di Truck - Relitto in superficie 

La laguna si trova a circa 1000 km a sud est di Guam (U.S.A.), punto principale di approdo per le rotte intercontinentali.
Data la magnifica posizione strategica, durante la seconda guerra mondiale Truck diventò presto il baluardo dei Giapponesi nel Pacifico che, sentendosi al sicuro, concentrarono qui le loro maggiori flotte.
Tuttavia nelle notti tra il 16 e il 18 febbraio 1944, gli Stati Uniti sferzarono un attacco a sorpresa denominato appunto “Operazione Hailstone”, che distrusse e affondò oltre 45 mezzi tra navi militari, aerei, portaerei, un sommergibile, navi cisterna......insomma una Pearl Harbor al contrario avvenuta dopo quasi tre anni da quell'attacco giapponese del 7 dicembre 1941.
Nacque così la famosa “flotta fantasma di Truck” con relitti di navi che si trovano tra una profondità di +1 mt (di alcuni relitti fuoriesce il pennone dall’acqua) e i -200 mt. 
Dopo 25 anni di bonifica e migliaia di immersioni per sminare completamente e rendere innocuo il pericoloso carico di queste navi da guerra, la laguna è divenuta parco, dove i relitti si sono ora completamente trasformati da tetri ricordi di una sanguinosa battaglia a una ricchissima colonia di coloratissimi pesci e coralli di ogni specie.
Un’esplosione di colori e coralli è assicurata visitando la Fujikawa Maru, una portaerei di 132 mt e 6938 tonnellate di stazza, mentre suggestiva è la visione della Sankisan Maru, una nave da carico di 112 mt di lunghezza e 4776 tonnellate di stazza, che giace su un fondale di circa 33 mt parzialmente in assetto di navigazione.
Troppo belle queste immagini per non condividerle in apertura di questo mio articolo, che dedicherò a una sorprendente sequenza matematica, anche lei correlata da altre altrettanto fascinose immagini.


Laguna di Truck - La Fujikawa Maru 

Laguna di Truck - La Aikoku Maru

Laguna di Truck - Mitsubishi G4M Betty Bomber

Laguna di Truck - Un carro armato giapponese

Laguna di Truck - Bombardiere Mitsubishi Zero

Dopo queste sbalorditive immagini degli abissi legate alla "operation hailstone" , dedico questo articolo alla sequenza o congettura di Collatz nota appunto come "hailstone sequence" e a cui nessuno ha ancora dato una risposta e che può essere considerata un vero rompicapo della teoria dei numeri.
Nota anche come congettura di Ulam (da Stanisław Ulam) o di Thwaites (da Sir Bryan Thwaites), capita di incontrarla come algoritmo di Hasse (da Helmut Hasse) oppure come problema di Kakutani (da Shizuo Kakutani) o di Syracuse (il nome fu proposto da Hasse nel 1950, durante una visita alla Syracuse University), fu riproposta da Paul Erdős e prese anche il nome di "hailstone sequence" o "sequenza della grandine".
Tanti nomi diversi stanno a dimostrare il grande interesse per la questione, nata negli anni ’30 del secolo scorso ma diffusasi in campo matematico solo a partire dagli anni ’60.
Conosciuta anche come congettura 3n+1, è una congettura matematica che fu enunciata per la prima volta nel 1937 da Lothar Collatz, da cui prende il nome e riproposta, con un premio in denaro, da Paul Erdős.
Sebbene il matematico tedesco Lothar Collatz (6 luglio 1910 Arnsberg, Vestfalia, Germania - 26 settembre 1990 Varna, Bulgaria) abbia ricevuto molti onori per i suoi contributi, è ricordato forse solo per questa sua sequenza.  
Al contrario il matematico ungherese Paul Erdős (26 marzo 1913 Budapest, Ungheria - 20 settembre 1996 Varsavia Polonia), che la ripropose, è ricordato come uno dei matematici più prolifici ed eccentrici della storia. 


Lothar Collatz (a sinistra) e Paul Erdős

Erdős ha lavorato e risolto problemi legati alla teoria dei grafi, combinatoria, teoria dei numeri, analisi, teoria dell'approssimazione, teoria degli insiemi e probabilità......
Era una persona ossessionata dalla matematica, non desiderava soldi o fama e la maggior parte del denaro che riceveva per le conferenze lo donava per cause benefiche, tenendo per sé solo quanto era sufficiente a soddisfare il suo frugale stile di vita. 
Dava soldi a tutti i mendicanti e si potrebbe dire che semplicemente non si curava affatto di ciò che non era matematica. 
"Alcuni socialisti francesi hanno detto che la proprietà è un furto - diceva - Io penso che più che altro sia una seccatura." 
Non aveva una casa e tutte le sue proprietà materiali erano stipate in due logore valigie che lo accompagnavano ovunque andasse.
"Another roof, another proof" era il suo motto" ("Un nuovo tetto, una nuova dimostrazione").
Ideò anche un vocabolario personale; spesso parlava del "Libro" riferendosi a un ipotetico libro, posseduto da Dio, nel quale erano racchiuse tutte le dimostrazioni sviluppate nella forma più elegante,  "capo" indicava una donna, "schiavo" un uomo, "epsilon" un bambino (noto che epsilon, in matematica, indica una quantità piccola), "veleno" gli alcolici, "rumore" la musica, "predicare" il tenere una conferenza di matematica, e così via. Erdős utilizzava questo suo proprio gergo anche per indicare gli Stati; Samlandia erano gli Stati Uniti d'America (dalla figura dello Zio Sam), mentre Joseplandia era l'URSS (da Josif Stalin). 
Per il suo epitaffio suggerì: "Végre nem butulok tovább" ("Adesso ho finito di diventare più stupido").
Tra le curiosità va ricordata la sua originale quanto inquietante idea di Dio, che negli anni '40 cominciò a chiamare SF, vale a dire "Sommo Fascista", immaginandolo infatti come una sorta di despota cosmico. 
Con tante brutte cose nel mondo - spiegava - non sono sicuro che Dio, ammesso che esista, sia buono”.
Insomma un genio davvero originale ed eccentrico, uno dei più prolifici matematici della storia (durante la sua vita ha scritto 1.485 articoli di matematica) e che, con i suoi studi, contribuì allo sviluppo della teoria di Ramsey e all'applicazione dei metodi probabilistici alla teoria stessa, da cui è nata una nuova branca dell'analisi combinatoria derivata in parte dalla teoria analitica dei numeri.
Durante la sua carriera, Erdős ha offerto premi in denaro per la soluzione di alcuni problemi irrisolti (Congetture di Erdőse tra questi appunto la congettura di Collatz, per la quale Erdős offrì 500 dollari.


Congettura di Collatz

La congettura di Collatz è semplice da enunciare 
e consiste nel definire una funzione f sugli interi positivi (numeri naturali):

f: N→N

f(n) = 3n + 1    se n è dispari 
f(n) = n/2    se n è pari

Un intero n definisce una sequenza:

a(1) = n e,  per i ≥ 1, a(i+1) = f(a(i))

Il problema consiste nel dimostrare che :
per ogni valore iniziale n, la sequenza a(i) raggiunge sempre 1.

Il problema rimane irrisolto, anche se la congettura è stata verificata per tutti i numeri n fino a n = 87x2^60 (nel 2017)
Più formalmente, le congetture in realtà sono due:


congettura debole di Collatz: nessun intero è divergente
congettura forte di Collatz: tutti gli interi positivi sono convergenti

Nelle successive sequenze vedremo che si passa da 1 per entrare in un ciclo (1, 4, 2, 1...) ma potrebbero esistere altri cicli che non contengono l’1. 
In questo caso, risulterebbe vera la congettura debole ma non la forte, per ora appunto indimostrata. 
Esiste solo una dimostrazione debole (molto importante peraltro) dovuta a Terras (vedi nota¹), che afferma (introducendo il concetto di stopping time) che la maggioranza degli interi positivi ha il comportamento che si conclude con il ciclo (1, 4, 2, 1.....).
Se proviamo infatti a costruire più sequenze a partire da un numero intero positivo, dividendolo per 2 se è pari, oppure moltiplicandolo per 3 e sommando 1 se è dispari, osserviamo che dopo un po’ di su e giù, la sequenza precipita incontrando numeri pari divisibili più volte per 2 e alla fine atterra su 1. 

Proviamo alcuni numeri per vedere cosa succede: 

n = 3; 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ... 
n = 4; 2, 1, 4, 2, 1, ... 
n = 5; 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ... 
n = 6; 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ... 
n = 7; 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 ...
n = 11; 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 ...
n = 156; 156, 78, 39, 118, 59, 178, 89, 268, 134, 67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1... (vedi grafico 1.1)
Come si vede la sequenza si ripete in un ciclo infinito:  4, 2, 1, 4, 2, 1 ...


Grafico 1.1

Analizzando queste sequenze scopriamo anche perché sia stata chiamata "hailstone sequence".
Il comportamento delle sequenze infatti ricorda la formazione della grandine causata da nuclei di ghiaccio portati su dalle correnti ascensionali e giù dal proprio peso, che si aggregano tra loro fino a diventare troppo pesanti e precipitare al suolo. 
Da qui il nome di sequenza della grandine, in inglese "hailstone sequence".


Schema di formazione della grandine

Come si è detto, fino ad oggi la questione è ancora aperta ed in attesa di essere dimostrata vera o confutata.
Spinti dall’apparente semplicità della domanda, nel tempo molti matematici hanno provato a fornire una risposta rigorosa, ma il problema si è rivelato molto più ostico del previsto. 
E una risposta alla domanda "Quanto ostico?" ce la fornisce proprio la valutazione del matematico ungherese Paul Erdős, che era solito offrire a colleghi e studenti una ricompensa economica per la soluzione dei problemi che proponeva.
Il premio partiva da pochi dollari per problemi che pur impegnavano duramente anche i più esperti e arrivò a 50$ per un problema ancora oggi irrisolto (frazioni egizie della congettura di Erdős-Strauss, ma a chi avesse fornito un risposta alla congettura di Collatz , Erdős offrì ben 500 $. 
Il suo intuito gli suggerì che forse servisse una matematica ancora da scoprire per risolvere la congettura.
Jeffrey Lagarias nel 2010 ha affermato a sua volta che "si tratta di un problema estremamente difficile, completamente fuori dalla portata della matematica attuale".
Quando negli anni ’60 il problema ritornò a interessare e cominciò a girare tra le università statunitensi, i calcolatori non erano ancora diffusi come oggi e il modo più comune per affrontare un problema come questo era ancora carta e penna.
L’apparente semplicità indusse molti a provarci, spendendo ore di calcoli senza però arrivare a una dimostrazione rigorosa.
Tanto che, ironicamente, qualcuno ipotizzò che la congettura facesse parte di una cospirazione sovietica, intesa a paralizzare la ricerca matematica statunitense.


Disposizione ad albero con radice in 1 

Cerchiamo ora di individuare quali siano i punti da prendere in considerazione per riuscire a dimostrare o confutare la congettura di Collatz.
Dato che la congettura di Collatz suppone che per ogni valore iniziale n, la sequenza a(i) debba raggiungere sempre 1, a(i) potrebbe: 
1) verificare tale ipotesi e precipitare a 1, dopo aver altalenato su e giù, terminando con il ciclo da 4 → 2 → 1 → 4 (…)
2) confutare tale ipotesi e terminare su un ciclo diverso da 4 → 2 → 1 → 4 (…) 
3) confutare tale ipotesi e divergere, toccando numeri sempre maggiori e non terminando mai né a 1, né in un ciclo
Quindi la congettura può essere dimostrata vera o falsa, in base ad un rigoroso ragionamento logico-matematico (caso 1), oppure confutata trovando un controesempio (casi 2 o 3).
Si potrebbe confutare tale congettura solo trovando un numero di partenza che generi una sequenza che non contenga 1, che quindi converga a un ciclo di ripetizione che escluda 1 o che diverga.
Queste strade sono state attivamente esplorate da più di 50 anni, ma nessuna sequenza di questo tipo è stata trovata. 
Non è stata trovata né una dimostrazione, né un controesempio. 
Anche se la congettura non è stata dimostrata, la maggior parte dei matematici che hanno esaminato il problema pensano che la congettura sia vera perché le prove sperimentali e gli argomenti euristici lo sostengono.
Con l'ausilio del computer, è stato verificato ad oggi (2017) che tutti gli interi positivi fino a 87x2^60 (vedi nota²) terminano infatti, prima o poi, a 1.
Con l'aumento della velocità dei computer, verranno controllati valori sempre più alti, anche se è bene ricordare che questi test non potranno mai dimostrare la correttezza della congettura, ma solo l'eventuale falsità.

Ma quali strade sono state battute dai matematici, alla ricerca di regolarità, che diano la chiave di risoluzione? 
Il primo passo è farsi un’idea di come varia la lunghezza della sequenza (numero dei passi), in base al numero di partenza.
Tenendo conto del numero da cui si parte, in alcuni casi il percorso è breve, mentre per altri è particolarmente lungo.
Ad esempio, partendo da n = 27 si arriva a 1 dopo un percorso di ben 111 passi, di cui 41 passi per i numeri dispari. 
Nel suo viaggio la sequenza sale fino a 1.780, ridiscende a 167, si impenna fino a 9.232, per poi scendere più o meno a capofitto verso 1 (vedi grafico 1.2).

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (...)


Grafico 1.2

Analizzando il numero dei passi è quindi evidente che anche un numero relativamente piccolo (come es n = 27) può avere tanti passi prima di arrivare a 1, come si vede dal grafico 1.2 ottenuto appunto utilizzando la funzione matematica della sequenza di Collatz.
Interessante anche notare la somiglianza notevole tra due grafici che si riferiscono alle sequenze che iniziano rispettivamente con n = 63.728.127 e n = 670.617.279 (vedi grafico 1.3 e 1.4)  
E' stato verificato che n = 63.728.127 è il numero minore di 100 milioni con il tempo di arresto totale più lungo, con 949 passi, e n = 670.617.279 è il numero minore di 1 miliardo con il tempo di arresto totale più lungo, con 986 passi (vedi grafici 1.3 e 1.4). 


Grafico 1.3

Grafico 1.4

Tenendo conto dei numeri di passi (per i numeri pari e dispari) si ottengono i grafici della congettura di Collatz e, se effettivamente tutte le sequenze portano a 1, allora gli interi positivi dovrebbero disporsi secondo un albero, con radice in 1. 
Le diramazioni dovrebbero passare, prima o poi, per tutti i numeri interi positivi. 
Anche se questo tipo di costruzione mostra delle regolarità, non ha fornito ad oggi lo spunto desiderato.
Per approfondire i più significativi tentativi di dimostrazione che si sono susseguiti lascio il link alla "Collatz conjecture"

Qui di seguito alcuni grafici della sequenza di Collatz che prendono in considerazione il numero di passi:


Grafico 1.5

Grafico 1.5 - lunghezza per i numeri dispari minori di 10.000 rispetto ai passi pari e dispari
Analizzando la lunghezza delle sequenze di Collatz per i numeri dispari minori di 10.000, si osservano frequenti gruppetti di numeri vicini che hanno la stessa lunghezza. Poiché due numeri dispari consecutivi non hanno fattori primi in comune, si tenderebbe a escludere un legame tra lunghezza della sequenza e fattori primi.


Grafico 1.6

Grafico 1.6 - lunghezza per i numeri pari minori di 10.000 rispetto ai  passi pari
Analizzando la lunghezza delle sequenze di Collatz per i numeri pari minori di 10.000, che come visto è la lunghezza della sequenza che aggrega il passo 3n + 1 con il successivo dimezzamento, si nota che l’andamento è simile a quello del grafico 1.5.


Grafico 1.7

Grafico 1.7 - distribuzione delle lunghezze
Analizzando la distribuzione delle lunghezze per i numeri dispari  minori di 10.000, si nota che la gobba che si forma intorno alla lunghezza di 120 è (purtroppo) fuorviante, e si livella analizzando più numeri.


Grafico 1.8

Grafico 1.8 - rapporto tra numero di passi pari e numero di passi dispari
Il grafico mostra l’andamento del rapporto p/d.
Si nota come il numero di passi pari e quello dei passi dispari siano correlati: se la sequenza arriva ad 1, i primi devono compensare in diminuzione l’effetto dei secondi in aumento. 

Grafico 1.9

Grafico 1.9 -  distribuzione del numero di passi pari e del numero di passi dispari
Evidenzia la distribuzione di passi pari e dispari

Grafico 1.10


Grafico 1.10 - stessa lunghezza per 943, 945, 947 e 949
Mette in evidenza un gruppo di numeri dispari consecutivi con la stessa lunghezza di sequenza: 943, 945, 947, 949. Si noti l’ampiezza del viaggio di 943 e come invece 949 proceda piatto.



Ottimizzando la f(n) = 3n + 1 con la relazione "shortcut" f(n) = (3n + 1)/2 e riformulando la congettura di Collatz in campo complesso, vale a dire passando dalla funzione "shortcut" di Collatz a una funzione olomorfa sull'intero piano di Gauss, si ottiene: 

 f(z)=1/4(4z+1−(2z+1)cos(πz)) 

e si ricava il suggestivo frattale di Collatz.

Frattale di Collatz

La procedura di Collatz può essere vista come l’iterazione della funzione, limitata ad argomenti interi. 
Iterando la funzione, si trova che diverge per alcuni valori iniziali di z e converge per altri; colorando i punti del piano complesso in nero, se l’iterazione diverge utilizzando quel punto come valore iniziale e con colori differenti se converge, si ottiene il disegno, riportato nella figura (da Pokipsy76 – English wikipedia, Public Domain),  che ricorda in vari particolari quello dell’insieme di Mandelbrot

Concludendo l'"hailstone sequence" dimostra che parte della bellezza della matematica è data dal fatto che modelli apparentemente semplici portano a domande e teorie molto più complicate ed è l'esempio perfetto di un semplice problema che anche le più grandi menti matematiche del mondo non sono riuscite a risolvere.
Certo non sembra che in termini pratici o applicativi possa portare a nuove scoperte, ma certamente la sua risoluzione potrà essere forse solo determinata, come ipotizzava Erdős, applicando metodi e procedimenti matematici innovativi che oggi sono ancora sconosciuti.
Sorprendentemente il 3 ottobre 2017 Duccio Fanelli, docente del Dipartimento di Fisica e Astronomia dell’Università di Firenze e Timoteo Carletti, docente del Dipartimento di Matematica dell’Università di Namur in Belgio, hanno pubblicato, sul Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, "Quantifying the degree of average contraction of Collatz orbits", un'analisi della congettura che si propone come tappa di avvicinamento verso la dimostrazione di quanto ipotizzato dal matematico tedesco.....riusciranno nell'impresa? 


Note

¹Per chi volesse approfondire l'argomento suggerirei i seguenti siti 
² Per visualizzare questo numero si tenga presente che 2^60 = 1.152.921.504.606.846.976 da moltiplicare ancora per 87

Fonti

From the book

La guerra del Pacifico 1941-1945 - Il più grande conflitto aeronavale della storia, di B. Millot - Rizzoli 2002
Iteration of the Number − Theoretic Function f(2n) = n, f(2n + 1) = 3n + 2 di C.J.Everet - Adv.Math (1977)
From website 
https://en.wikipedia.org/wiki/Operation_Hailstone
https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
http://www.unifimagazine.it/dimostrare-la-congettura-collatz/
From the pictures
http://scubatravel.se
http://www.perthscuba.com/galleries/truk-lagoon-micronesia/
http://www.watermanpolyhedron.com/Collatzconjecture.html
http://swimmingthestyx.com/?p=447
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7188269
http://wikipedia.org (alcune immagini sono state rielaborate con PhatoShop)
From the video
Operation Hailstone
https://www.youtube.com/watch?v=kMgIrtq5M4o
Professor David Eisenbud Berkeley University - California
http://www.popularmechanics.com/technology/news/a22246/simple-problem-that-still-stumps-mathematicians/